Jean-Marie SOURIAU

GÉOMÉTRIE

ET

RELATIVITÉ

Paris, Hermann
1964 

Auteur :
Jean-Marie SOURIAU

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Géométrie analytique et différentielle
MÉCANIQUE
Relativité

Reprint 2008
17 x 24 cm
520 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-318-8

I N T R O D U C T I O N

 Première partie : Géométrie
– Nous proposons de placer à la base de la géométrie la notion de recueil (§ 1) : si des opérateurs vérifient les axiomes des recueils, ils définissent une géométrie sur en certain ensemble E ; E prendra alors le nom d'espace ; les éléments du recueil s'appelleront glissements de E.
On peut ainsi définir aussi bien les géométries classiques (géométrie euclidienne, géométrie projective, etc.,) que la topologie générale, la géométrie différentielle, la géométrie algébrique, etc.
– Tout espace est pourvu d'une topologie naturelle, pour laquelle les glissements sont continus ; la notion de recueil permet donc l'étude simultanée des propriétés locales et des propriétés globales (chapitre I).
– Dans certains cas une équivalence définie sur un espace E définit une structure d'espace sur l'ensemble quotient E' : nous dirons alors que E est un espace fibré de base E' (chapitre II). On définit immédiatement les fibres de E, leur groupe structural ; nous étudions aussi les glissements de jauge et les groupes de jauge.
Comme application de la théorie des espaces fibrés, nous donnons au § 10 la théorie des revêtements d'un espace quelconque ; nous en déduisons de nombreux théorèmes de relèvement, et la définition du groupe de Poincaré.
– La théorie de la variance est exposée dans le cas d'un espace quelconque, à l'aide de l'axiomatique des racines (chapitre III) ; on arrive ainsi à des règles de calcul précises, qui s'appliquent notamment aux champs de la géométrie différentielle et de la physique.
– Nous caractérisons une variété à n dimensions, V, au moyen d'une structure d'espace définie sur la réunion V U Rⁿ ; la théorie des recueils et des racines fournit des algorithmes pratiques pour les problèmes relatifs aux cartes (systèmes de coordonnées) et aux changements de cartes (chapitre IV). L'étude des champs de vecteurs et des équations différentielles sur une variété permet de définir les glissements infinitésimaux : la théorie des racines donne alors une définition simple de la dérivée de Lie d'un champ, notion importante pour les applications, où se retrouvent les principaux aspects de la théorie de la variance.
– Le chapitre V est consacré à l'étude des diverses théories algébriques et de leurs applications géométriques ; on y trouvera les diverses parties de la géométrie différentielle classique, et notamment l'intégration des formes.
– Pour que cette première partie du livre puisse être utilisée comme un traité pratique de géométrie, nous avons apporté un soin particulier à la présentation des calculs ; nous avons du renoncer à certaines notations, pourtant assez courantes, à cause des confusions qu'elles peuvent provoquer ; les formulaires sont aussi complets que possible ; on y trouvera de nombreuses formules inédites.
D'autre part, tous les théorèmes d'analyse classique utilisés sont rappelés en détail quand ils ne sont pas démontrés ; les références bibliographiques renvoient à un petit nombre d'ouvrages de synthèse, d'accès facile.

Deuxième partie : Relativité
Comme la plupart des théories physiques bien élaborées, la relativité peut être exposée de deux façons :
– En suivant l'ordre historique : la contradiction entre la Mécanique et l'Électrodynamique classiques a été résolue par une critique de la notion de simultanéité, la création de l'espace de Minkowski et la théorie de la Relativité restreinte, qui est un recommencement inductif de la physique. De même, la nécessité d'englober la gravitation dans la théorie a mené Einstein, par une nouvelle induction créatrice, à abandonner l'espace de Minkowski et à édifier la Relativité générale.
– En suivant l'ordre logique, inverse du précédent : comme nous le faisons dans ce livre, on part alors d'axiomes caractérisant la Relativité générale ; par une suite de déductions et d'approximations, on aboutit à l'interprétation physique de la théorie.
Ce deuxième mode d'exposition est évidemment nécessaire à l'achèvement de la théorie ; il s'accompagne d'une grande économie de pensée ; il évite au lecteur l'erreur, trop répandue, de croire que l'induction est un jeu sans règles, et que la contradiction interne est, en elle-même, un gage de fécondité pour une théorie physique...
Mais il présente aussi ses dangers ; il ne faudrait pas croire qu'une structure mathématique puisse constituer une théorie physique sans posséder d'interprétation claire et détaillée ; que les axiomes d'une théorie quelconque soient intangibles, et que la recherche scientifique puisse se passer du recours à l'induction.
– Ainsi, il est clair que les axiomes proposés pour la Relativité générale (§ 33) sont de valeur inégale et que certains doivent et peuvent être remis en cause ; on en trouvera un exemple au chapitre VII.
Dans les diverses modifications de la relativité que l'on peut imaginer, il semble que la partie qui doit rester la plus stable est l'existence d'une structure géométrique pour l'univers physique ; parce que cette structure est l'énoncé mathématique du principe du déterminisme.
Ce principe, en effet, assure que la répétition d'une expérience est toujours possible, en d'autres temps ou d'autres lieux – si on établit les conditions nécessaires ; la notion même de répétition implique l'existence d'une correspondance biunivoque entre les instants-points de la première expérience et ceux de la seconde (telle qu'il se passe « la même chose » en deux instants-points homologues) ; si nous appelons glissements ces correspondances spatio-temporelles, il semble clair que l'inverse d'un glissement doit être un glissement, que la composition de deux glissements doit donner un glissement : par conséquent l'ensemble de tous les glissements vérifie les axiomes de pré-recueils (voir le § 1) ; il définit donc une géométrie de l'espace-temps ; géométrie dans laquelle la physique tout entière doit pouvoir se décrire, puisque les lois physiques, qui concernent l'ensemble des expériences possibles, doivent nécessairement être invariantes par les glissements. Mais bien entendu, rien n'impose à priori de choisir telle ou telle géométrie ; c'est ainsi que nous étudions au chapitre VII une théorie à 5 dimensions, unitaire en ce sens qu'elle donne une origine purement géométrique aux interactions gravifiques et aux interactions électromagnétiques, aussi bien dans le cadre de la physique classique que dans celui des fonctions d'onde des particules élémentaires.
En particulier, la théorie permet d'interpréter les transformations de jauge électro-magnétiques, la conjugaison de charge, et de prévoir l'existence d'une charge électrique élémentaire, indépendante de la nature des particules ; faits qui sont constatés, mais non expliqués, par la physique actuelle.
L'origine de cette théorie remonte aux travaux de Kaluza, déjà perfectionnés par de nombreux auteurs, notamment Klein, Jordan, Thiry, Lichnerowicz ; sa validité n'est pour l'instant qu'une hypothèse, qui serait confirmée si l'univers à 5 dimensions se révélait apte à décrire l'électrodynamique quantique.

S O M M A I R E

GÉOMÉTRIE

I - Espaces.
Recueils.
Espaces et univers.
Structure globale.
Structure locale.
Passage du local au global.
II - Espaces fibrés.
Quotients d'opérateurs.
Définition des espaces fibrés.
Groupe structural.
Jauge.
Espaces fibrés principaux. Revêtements.
III - Théorie de la variance.
Germes.
Racines.
Variance.
Classification des racines.
Champs.
Constructions de racines.
IV - Variétés différentiables.
Notations matricielles.
Opérateurs différentiables.
Variétés.
Variétés différentiables.
Champs de vecteurs.
Équations différentielles.
Dérivée de Lie.
V - Structures différentielles.
Racines d'ordre 1.
Tenseurs.
Algèbre extérieure.
Dérivation extérieure.
Dérivation covariante.
Espaces euclidiens.
Variétés riemanniennes.
Intégrales multiples.

RELATIVITÉ

VI - Relativité générale.
À propos des principes de la physique.
Principes de la relativité générale.
Théorèmes généraux de la relativité.
La gravitation.
La matière parfaite.
La lumière.
Passage à la relativité restreinte.
Passage à la physique classique.
VII - Relativité à 5 dimensions.
Principes et théorèmes généraux.
Approximations quadridimensionnelles.
Champ scalaire à 5 dimensions.
Espaces quaternioniques.
Spineurs.
Équations de Dirac.

Notes
- Monoïdes.
- Calcul du groupe de Poincaré.
- Particules vectorielles chargées.