Hippolyte COMMISSAIRE et Georges CAGNAC

COURS DE MATHÉMATIQUES SPÉCIALES  

Tome III

Calcul intégral
Courbes et surfaces du second ordre

Quatrième édition

Paris, Masson
1957

Auteurs :
Hippolyte COMMISSAIRE
Georges CAGNAC

Série :
Commissaire et Cagnac : Tome I   Tome II   Tome III

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1997
17 x 24 cm
552 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-203-7


SOMMAIRE DU TOME III

LIVRE IV

LES ÉLÉMENTS DU CALCUL INTÉGRAL

I - Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.
- Les deux formes de la décomposition d'une fraction rationnelle.
- Calcul pratique des coefficients de la décomposition.
- Applications de la décomposition d'une fraction rationnelle.

II - Recherche des fonctions primitives.
- Intégrales indéfinies. Procédés généraux d'intégration.
- Intégration des différentielles rationnelles.
- Intégration des différentielles rationnelles en sin x et cos x.
- Intégration des différentielles R (x, y) dx.

III - Intégrales définies.
- Définition de l'intégrale définie.
- Calcul des intégrales définies.
- Évaluation approchée des intégrales définies.
- Extensions de la notion d'intégrale définie.

IV - Applications géométriques du calcul des intégrales définies.
- Évaluation des aires planes.
- Longueur d'un arc de courbe.
- Développantes d'une courbe plane.
- Développement des surfaces cylindriques et coniques.
- Aire d'une zone de révolution.
- Évaluation des volumes.
- Détermination des centres de gravité.
- Moments d'inertie.

V - Courbure.
- Notion de courbure.
- Courbure des courbes planes.
- Courbure des courbes gauches.

VI - Équations différentielles du premier ordre.
- Généralités.
- Équations différentielles à variables séparées.
- Équations différentielles linéaires du premier ordre.

VII - Équations différentielles du second ordre.
- Généralités.
- Équations différentielles linéaires du second ordre.

VIII - Applications géométriques des équations différentielles.
- Courbes planes.
- Trajectoires orthogonales.
- Courbes tracées sur une surface.

LIVRE V

ÉTUDE DES COURBES ET DES SURFACES DU SECOND ORDRE

I - Formes quadratiques. Classifications des courbes du second ordre.
- Notions sur les formes quadratiques.
- Classifications des courbes de second ordre.
- Notions sur les enveloppes de seconde classe.

II - Classifications des surfaces du second ordre.
- Classification en genres au moyen des points à l'infini.
- Classification en espèces au moyen des points doubles.
- Classification complète par réduction de l'équation.
- Notions sur les enveloppes de seconde classe.

III - Éléments conjugués par rapport aux courbes du second ordre et aux enveloppes planes de seconde classe.
- Points conjugués.
- Droites conjuguées.
- Notions sur la transformation par polaires réciproques.

IV - Centres et diamètres dans les courbes du second ordre.

V - Éléments conjugués par rapport aux surfaces du second ordre et aux enveloppes de seconde classe.
- Points conjugués.
- Plans conjugués.
- Notions sur la transformation par polaires réciproques.

VI - Centres, plans diamétraux, diamètres dans les surfaces du second ordre.

VII - Détermination d'une courbe ou d'une surface du second ordre. Homographie et involution sur les coniques.
- Notions sur la détermination des figures.
- Propriétés homographiques et involutives des coniques.
- Propriétés corrélatives.
- Application aux constructions de coniques.
- Notions sur la représentation paramétrique rationnelle d'une conique.

VIII - Génératrices rectilignes des quadriques.
- Génératrices rectilignes de l'hyperboloïde à une nappe.
- Génératrices rectilignes du paraboloïde hyperbolique.
- Recherche des génératrices d'une quadrique définie par une équation cartésienne non réduite.
- Étude géométrique.

IX - Homothétie des courbes et des surfaces du second ordre.

X - Directions principales et axes d'une courbe du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires. Foyers.
- Directions principales, axes, sommets.
- Réduction de l'équation d'une courbe du second ordre en coordonnées rectangulaires.
- Invariants.
- Équation trinôme commune aux trois coniques.
- Foyers des coniques.

XI - Directions principales, plans principaux et axes d'une surface du second ordre. Réduction de l'équation en coordonnées rectangulaires.
- Directions principales.
- Réduction de l'équation d'une surface du second ordre en coordonnées rectangulaires.
- Plans principaux, axes et sommets.
- Invariants.

XII - Faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Faisceaux linéaires ponctuels.
- Exemples de faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Propriétés générales des faisceaux linéaires de courbes du second ordre.
- Notions sur les faisceaux linéaires d'enveloppes de seconde classe.

XIII - Faisceaux linéaires de surfaces du second ordre. Intersection de deux surfaces du second ordre.
- Faisceaux linéaires de surfaces du second ordre.
- Intersection de deux surfaces du second ordre.
- Notions sur les faisceaux linéaires d'enveloppes de seconde classe.

XIV - Étude des coniques sur leurs équations réduites.
- Propriétés communes à l'ellipse et à l'hyperbole.
- Propriétés spéciales à l'ellipse.
- Propriétés spéciales à l'hyperbole.
- Normales à une ellipse ou à une hyperbole
- Étude de la parabole sur son équation réduite.

XV - Étude des quadriques sur leurs équations réduites.
- Ellipsoïde et hyperboloïdes.
- Paraboloïdes.
- Recherche générale des plans de sections circulaires.