Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome VII

Chapitre XXIII

Équations fonctionnelles linéaires
Première partie
Opérateurs pseudo-différentiels

Paris, Gauthier-Villars
1978
Tirage 1981

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série : Dieudonné - Éléments d'Analyse
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Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2007
17 x 24 cm
316 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-217-4



P R É S E N T A T I O N

Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".

S O M M A I R E

XXIII - Équations fonctionnelles linéaires.
I - Opérateurs pseudo-différentiels.
- Opérateurs intégraux.
- Opérateurs intégraux de type propre.
- Opérateurs intégraux sur les fibrés vectoriels.
- Sections bornées.
- Opérateurs de Volterra.
- Opérateurs de Carleman.
- Fonctions propres généralisées.
- Distributions noyaux.
- Distributions noyaux régulières.
- Opérateurs régularisants et composition des opérateurs.
- Microsupport singulier d'une distribution.
- Équations de convolution.
- Solutions élémentaires.
- Problèmes d'existence et d'unicité pour les systèmes d'équations linéaires aux dérivées partielles.
- Symboles d'opérateurs.
- Intégrales oscillantes.
- Opérateurs de Lax-Maslov.
- Opérateurs pseudo-différentiels.
- Symbole d'un opérateur pseudo-différentiel de type propre.
- Opérateurs pseudo-différentiels matriciels.
- Paramétrix des opérateurs elliptiques sur un ouvert de Rⁿ.
- Opérateurs pseudo-différentiels dans les espaces H^s₀ (X).
- Problème de Dirichlet classique et problèmes de Dirichlet grossiers.
- L'opérateur de Green.
- Opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
- Adjoint d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété. Composé de deux opérateurs pseudo-différentiels sur une variété.
- Extension des opérateurs pseudo-différentiels aux sections distributions.
- Symboles principaux.
- Paramétrix des opérateurs elliptiques : cas des variétés.
- Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : I. Prolongements autoadjoints et conditions aux limites.
- Théorie spectrale des opérateurs elliptiques hermitiens : II. Fonctions propres généralisées.
- Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : I. Opérateurs de convolution hermitiens sur Rⁿ.
- Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : II. Spectres atomiques.
- Opérateurs pseudo-différentiels essentiellement autoadjoints : III. Opérateurs elliptiques hermitiens sur une variété compacte.
- Opérateurs différentiels invariants.
- Propriétés différentielles des fonctions sphériques.
- Exemple : harmoniques sphériques.