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Jacques DIXMIER

ALGÈBRES

ENVELOPPANTES

Paris, Gauthier-Villars
1974
 

Auteur :
Jacques DIXMIER

Série : Dixmier - Algèbre
Algèbres d'opérateurs   C*-algèbres   Algèbres enveloppantes

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1996
16 x 24 cm
360 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-014-9


S O M M A I R E

I - Algèbres de Lie.
- Généralités.
- Représentations.
- Algèbres de Lie résolubles et nilpotentes.
- Radical. Plus grand idéal nilpotent.
- Algèbres de Lie semi-simples.
- Semi-simplicité des représentations.
- Algèbres de Lie réductives.
- Représentations de sl (2, k).
- Sous-algèbres de Cartan.
- Système de racines d'une algèbre de Lie semi-simple déployée.
- Formes linéaires régulières.
- Polarisations.
- Algèbres de Lie semi-simples symétriques.

II - Algèbres enveloppantes.
- Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt.
- Le foncteur U.
- Filtration de l'algèbre enveloppante.
- L'application canonique de l'algèbre symétrique dans l'algèbre enveloppante.
- Existence de représentations de dimension finie.
- Commutant d'un module simple.
- Le dual de l'algèbre enveloppante.

III - Idéaux bilatères dans les algèbres enveloppantes.
- Idéaux primitifs, idéaux premiers.
- L'espace des idéaux primitifs.
- Passage à un idéal de g.
- Extension des scalaires.
- Dimension de Krull.
- Anneaux de fractions.
- Idéaux premiers dans le cas résoluble.

IV- Centres.
- Notations.
- Centre et coeur dans le cas semi-simple.
- Semi-centre.
- Centre et coeur dans le cas résoluble.
- Caractérisation des idéaux primitifs dans le cas résoluble.
- Algèbres de Heisenberg. Algèbres de Weyl.
- Centre et coeur dans le cas nilpotent.
- Idéaux invariants de l'algèbre symétrique (cas nilpotent).

V - Représentations induites.
- Représentations induites.
- Représentations induites tordues.
- Un critère de simplicité des représentations induites.
- Construction d'idéaux primitifs par induction.
- Représentations coinduites.

VI - Idéaux primitifs (cas résoluble).
- Les idéaux I (f).
- Idéaux rationnels pour le cas nilpotent.
- Idéaux premiers de l'algèbre enveloppante et idéaux premiers invariants de l'algèbre symétrique (cas nilpotent).
- Topologie de Jacobson.

VII - Modules de Verma.
- Notations.
- Les modules L (λ) et M (λ).
- Représentations de dimension finie.
- Invariants dans l'algèbre symétrique.
- L'homomorphisme de Harish-Chandra.
- Caractères.
- Sous-modules de M (λ).
- Sous-modules de M (λ) et relation d'ordre sur le groupe de Weyl.

VIII - Algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie semi-simple.
- Le cône des éléments nilpotents.
- L'algèbre enveloppante comme module sur son centre.
- Représentation adjointe dans l'algèbre enveloppante.
- Annulateurs des modules de Verma.

IX - Modules de Harish-Chandra.
- Cas d'une sous-algèbre de Lie réductive dans g.
- Applications canoniques définies par une sous-algèbre symétrisante.
- Série principale.
- Le théorème du sous-quotient.
- Théorèmes de finitude.
- Modules sphériques dans le cas diagonal.

X - Idéaux primitifs (cas général).
- Certains homomorphismes canoniques.
- Application aux représentations induites.
- Les idéaux I (f).
- Application au centre de l'algèbre enveloppante.

XI - Appendice.
- Systèmes de racines.
- Résultats divers.