Georges VALIRON

Cours d'Analyse Mathématique

ÉQUATIONS FONCTIONNELLES
APPLICATIONS

Deuxième édition

Paris, Masson et C^ie, Éditeurs
1950

Auteur :
Georges VALIRON

Cours de la Sorbonne

Thème :
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1989
16 x 24 cm
614 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-061-3

S O M M A I R E

I - FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'UNE VARIABLE

1 - Définitions. Systèmes circulaires.
- Théorème de monodromie.
- Fonctions algébriques et surfaces de Riemann correspondantes.
- Détermination des points de ramification. Méthode de Puiseux.
- Théorème et surfaces de Lüroth.
- Transformation topologique de la surface de Lüroth.

2 - Connexion des surfaces de Riemann. Genre.
- Théorèmes sur la connexion.
- Ordre de connexion d'une surface.
- Genre. Formule de Riemann.
- Tracé des coupures.

3 - Transformations birationnelles. Applications.
- Cycles. Transformations birationnelles de plan à plan, ou de Cremona.
- Théorème de Nöther. Application.
- Transformations birationnelles de courbes à courbes. Théorème de Bertini.
- Intersection de deux cycles. Théorème de Bezout.
- Classe. Genre et points multiples.
- Application du théorème de Bertini aux courbes de genre zéro et un.

II - NOTIONS SUR LES INTÉGRALES ABÉLIENNES, LES PROBLÈMES D'INVERSION ET L'UNIFORMISATION

1 - Fonctions analytiques sur la surface de Riemann.
- Fonctions uniformes sur la surface de Riemann.
- Intégrale de Cauchy.
- Fractions rationnelles.

2 - Intégrales abéliennes.
- Périodes des intégrales abéliennes.
- Propriétés générales. Classification en trois espèces.
- Intégrales de première espèce .
- Intégrales de première espèce linéairement distinctes. Formule de Riemann.
- Intégrales de deuxième espèce et intégrales de troisième espèce.

3 - Théorème d'Abel. Applications.
- Forme différentielle.
- Forme intégrale du théorème.
- Applications géométriques. Propriétés angulaires.
- Propriétés relatives aux distances et aux aires. - Arcs des courbes de direction.

4 - Les problèmes d'inversion et d'uniformisation.
- Indications sur le problème d'inversion de Jacobi et les fonctions abéliennes.
- Indications sur le problème d'inversion de Riemann et l'uniformisation.
- Théorème de Bloch.
- Théorème de Picard sur l'uniformisation.

III - FONCTIONS ANALYTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES. MÈTHODE DES FONCTIONS MAJORANTES

1 - Séries entières à plusieurs variables.
- Série à coefficients et variables positifs.
- Séries à termes quelconques. Cercles de convergence associés.
- Propriétés de la somme. Fonctions analytiques.
- Cas de deux variables réelles. Exemple des fonctions harmoniques.
- Fonctions majorantes.

2 - Fonctions implicites analytiques. Courbes et surfaces analytiques.
- Fonction d'une variable.
- Cas de p équations à p inconnues.
- Courbes analytiques.
- Surfaces analytiques.
- Formule de Lagrange. Méthodes de Laplace et d'Hermite.
- Remarque sur les solutions des fonctions implicites.

3 - Application de la méthode des fonctions majorantes aux équations différentielles.
- Cas d'une seule équation.
- Unicité de la solution. Dépendance des conditions initiales. Facteur intégrant.
- Système d'équations du premier ordre.
- Équation d'ordre n.
- Cas des systèmes linéaires.

4 - Notions sur la théorie des fonctions holomorphes de deux variables d'après Poincaré.
- Fonctions monogènes de deux variables.
- Extension de la formule de Cauchy. Application. Théorème de Weierstrass.

IV - THÉORIE DU CONTACT. ENVELOPPES

1- Théorie du contact.
- Définition de l'ordre du contact.
- Contact de deux courbes.
- Contact de deux surfaces.
- Contact d'une courbe et d'une surface.
- Notations vectorielles.
- Osculation.

2 - Théorie des enveloppes.
- Enveloppes des courbes planes.
- Enveloppes de surfaces dépendant d'un paramètre.
- Enveloppes de surfaces dépendant de deux paramètres.
- Enveloppes de courbes de l'espace dépendant d'un paramètre.
- Arête de rebroussement.

V - THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1 - Équations du premier ordre.
- Équations à variables séparées.
- Équation d'Euler.
- Équations homogènes.
- Équations linéaires.
- Équations de Bernoulli et de Jacobi.
- Équation de Riccati.
- Intégration des différentielles totales. Facteur intégrant.
- Équations non résolues. Équations de Lagrange et de Clairaut.
- Intégrale singulière. Interprétation géométrique de Lie.

2 - Équations d'ordre supérieur à un.
- Cas simples où l'ordre s'abaisse.
- Simplification par dérivation.
- Exemple d'intégration par les fonctions elliptiques.
- Équation différentielle d'une famille de courbes.

3 - Équations différentielles linéaires.
- Définitions. Propriétés générales. Wronskien.
- Système fondamental de solutions. Intégrale générale.
- Équations avec second membre. Méthode de la variation des constantes.
- Application aux équations à coefficients constants.
- Équations à coefficients constants avec second membre.

4 - Systèmes d'équations linéaires.
- Système canonique.
- Systèmes fondamentaux de solutions.
- Abaissement de l'ordre.
- Équations avec seconds membres.
- Applications aux équations à coefficients constant. Systèmes homogènes.
- Systèmes linéaires à coefficients constants avec seconds membres.
- Équation de Jacobi.

VI - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DANS LE DOMAINE COMPLEXE

1 - Application des théorèmes d'existence.
- Solutions dans le cas général.
- Systèmes fondamentaux de solutions.
- Extension des résultats obtenus dans le cas réel.
- Méthode de d'Alembert.
- Équations d'Euler.

2 - Équations homogènes à coefficients uniformes.
- Permutation des solutions autour des singularités isolées.
- Cas où l'équation en s a des racines multiples.
- Théorème de Fuchs .
- Équation déterminante.
- Condition nécessaire et suffisante pour que l'équation soit du premier type de Fuchs. Application.

3 - Applications.
- Équations à deux singularités.
- Équations d'Halphen.
- Équations de Picard.
- Équation de Lamé.

4 - Méthode d'intégration de Laplace.
- Équations de Laplace.
- Intégration de l'équation de Laplace dans le cas général.
- Développements asymptotiques.
- Équations dont les coefficients sont des polynômes.

5 - Résultats divers.
- Solutions communes à deux équations linéaires.
- Groupe d'une équation linéaire.
- Équation adjointe.
- Équations à coefficients algébriques.

VII - ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE

1 - Équations de Gauss et fonctions hypergéométriques.
- Équation du second ordre à trois singularités régulières.
- Fonction hypergéométrique.
- Prolongement des solutions.
- Polygones de Jacobi.
- Représentation de la fonction hypergéométrique par une intégrale.
- Intégrales hypergéométriques.
- Application à la représentation conforme.
- Dégénérescences de l'équation de Gauss. Polynômes de Laguerre.
- Polynômes d'Hermite.

2 - Équations et fonctions de Legendre.
- Équation de Legendre. Formules de Schläfli et de Laplace.
- Solution générale de l'équation de Legendre.
- Formule de Heine.
- Théorème de Neumann.
- Fonctions de Legendre considérées comme fonctions sphériques.

3 - Équations et fonctions de Bessel.
- Équation différentielle et fonctions de Bessel.
- Formules de récurrence.
- Formule de Schläfli. Fonction génératrice.
- Théorème de Neumann.
- Application de la méthode de Laplace.

VIII - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES DANS LE DOMAINE COMPLEXE

1 - Étude locale des singularités. Théorèmes de Briot et Bouquet.
- Cas où le coefficient différentiel devient infini.
- Cas où le coefficient différentiel est indéterminé. Cas général.
- Cas où λ est un entier positif. Cas général.
- Cas des systèmes différentiels.

2 - Singularités des équations du premier ordre.
- Théorème de Painlevé.
- Équations rationnelles dont les solution n'ont pas de points critiques algébriques mobiles.
- Remarques sur les constantes d'intégration.
- Théorème de Boutroux sur la croissance des solutions de y' = P(y).
- Théorèmes de Malmquist.
- Équations algébriques en y et y' à solutions uniformes. Théorèmes d'Hermite et de Briot et Bouquet.
- Application aux équations binômes.
- Théorème de Poincaré.

3 - Équations d'ordre supérieur à un. Théorie de Painlevé. Équations et fonctions de Painlevé.
- Équations du second ordre à points critiques fixes. Méthode de Painlevé.
- Application à l'équation y" = R(x, y, y').
- Réduction de l'équation correspondant à A (x, y) = 0.
- Équations de Painlevé. Irréductibilité.

4 - Intégrales singulières.
- Intégrales singulières des équations algébriques du premier ordre.
- Intégrales singulières des systèmes différentiels.

IX - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DANS LE CHAMP RÉEL

1 - Théorèmes d'existence. Méthode des approximations successives de Picard.
- Existence des solutions moyennant la condition de Lipschitz.
- Unicité de la solution. Dépendance des conditions initiales.
- Intégrales premières. Équations aux variations.
- Prolongement des solutions. Cas des systèmes linéaires.
- Cas où les fonctions sont analytiques.

2 - Intégrales premières. Multiplicateur. Invariants intégraux.
- Intégrales premières.
- Combinaisons intégrables.
- Multiplicateur de Jacobi.
- Invariants intégraux de Poincaré.

3 - Méthode de Cauchy. Théorème d'Arzelà. Intégration approchée.
- Théorème d'Arzelà sur les fonctions également continues.
- Méthode de Cauchy. Théorème d'Arzelà.
- Théorème de Cauchy-Lipschitz.
- Méthodes pratiques d'approximation. Formule de Newton. Méthode d'Adams.
- Cas des équations d'ordre supérieur.

4 - Théorie de Lie.
- Groupes continus ponctuels à un paramètre.
- Transformations infinitésimales du groupe.
- Groupe prolongé.
- Application aux équations différentielles du premier ordre.
- Équations d'ordre supérieur. Groupes à plusieurs paramètres.

X - ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE ET DU SECOND ORDRE DANS LE CHAMP RÉEL

1 - Étude des solutions des équations du premier ordre dans le voisinage des points singuliers de l'équation.
- Examen d'un cas particulier simple.
- Étude du cas général, lorsque les racines de l'équation en r sont réelles et de même signe.
- Cas où les racines sont imaginaires.
- Cas où les racines de l'équation en r sont réelles et de signes contraires.
- Cas des équations rationnelles. Théorèmes de Poincaré.
- Méthode de Bendixson.

2 - Théorie générale de Poincaré.
- Problème général. Projection sur la sphère. Caractéristiques.
- Points singuliers du système des caractéristiques. Relation de Poincaré entre les nombres de nœuds, cols et foyers.
- Forme des caractéristiques. Théorie des contacts. Cycles limites.
- Extensions de la méthode et des résultats.

3 - Équations de Sturm-Liouville.
- Problème aux limites de Sturm-Liouville ; équation réduite.
- Théorèmes de Sturm.
- Application aux fonctions de Bessel.
- Équation renfermant un paramètre.
- Orthogonalité de la suite de solutions fondamentales. Suites fermées.
- Applications et extension.

XI - CALCUL DES VARIATIONS

1 - Cas des intégrales simples. Extrémales.
- Position du problème.
- Recherche de conditions nécessaires.
- Premier lemme fondamental du calcul des variations. Équations d'Euler. Extrémales.
- Cas particuliers. Changement de variable.
- Objection et lemme de Du Bois-Reymond.

2 - Étude du cas où f ne dépend pas de y.
- Condition suffisante pour le minimum absolu. Figurative. Solutions discontinues.
- Exemples. Problèmes de Newton.

3 - Conditions de l'extremum dans le cas général.
- Variation première en général.
- Problèmes de variation avec des limites variables. Transversales.
- Conditions nécessaires pour l'extremum. Conditions de Weierstrass et de Legendre.
- Champs d'extrémales. Théorème d'Hilbert. Conditions suffisantes de Weierstrass et de Legendre.
- Foyers conjugués. Condition de Jacobi. Extremum fort, extremum faible, extremum absolu.
- Exemples. Remarques diverses.

4 - Notions sur divers problèmes de variations. Conditions du premier ordre.
- Cas de plusieurs fonctions inconnues.
- Problèmes isopérimétriques.
- Cas des intégrales double.
- Surfaces minima.
- Forme paramétrique. Géodésiques.
- Équations canoniques.

XII - THÉORIE DES COURBES GAUCHES

1 - Formules de Frenet-Serret. Applications.
- Rappel de résultats acquis.
- Trièdre de Frenet-Serret. Torsion. Formules de Frenet-Serret.
- Calcul des rayons de courbure et de torsion.
- Équations intrinsèques d'une courbe gauche. Elles déterminent la courbe.
- Interprétation cinématique.
- Signe de la torsion.
- Cas particuliers.
- Hélices.

2 - Méthode du trièdre mobile.
- Enveloppes de plans liés à la courbe.
- Développées.
- Développantes.

3 - Courbes particulières remarquables.
- Courbes de Bertrand.
- Courbes à courbure constante et courbes à torsion constante.

4 - Nombres remarquables relatifs aux courbes gauches algébriques.
- Points stationnaires.
- Formules de Cayley.
- Géométrie finie et géométrie infinitésimale directe.

XIII - THÉORIE DES SURFACES. THÉORÈMES GÉNÉRAUX

1 - La courbure et les deux formes fondamentales.
- Formes diverses des équations d'une surface.
- Élément d'arc ou élément linéaire. Questions d'angles.
- Formule fondamentale relative aux courbures. Deuxième forme quadratique fondamentale. Théorème de Meusnier.
- Étude des courbures des sections normales. Indicatrice de Dupin.
- Calcul des rayons de courbure principaux dans le cas général.
- Théorème de Gauss sur la courbure totale.
- Directions conjuguées. Lignes conjuguées. Lignes de courbure. Lignes asymptotiques.
- Définition géométrique des lignes conjuguées. Théorème de Kœnigs. Définition géométrique des lignes asymptotiques et des lignes de courbure.
- Propriétés des lignes de courbure. Normalies. Théorème de Joachimstal. Ombilics. Systèmes triples orthogonaux.
- Représentation sphérique.

2 - Courbure et torsion géodésiques. Géodésiques. Surfaces applicables.
- Trièdre de Darboux-Ribaucour. Courbure et torsion géodésiques.
- Calcul de la torsion géodésique. Formule de Bonnet. Formule d'Enneper.
- Courbure géodésique et centre de courbure géodésique. Théorème de Bonnet.
- Applications de la torsion géodésique.
- Lignes géodésiques. Théorème de Gauss.
- Surfaces applicables.
- Théorème de Bour. Surface à courbure totale constante.
- Les surfaces applicables sur le plan sont les surfaces développables.

3 - Représentation conforme. Cartes géographiques.
- Représentation conforme d'une surface sur une autre, sur un plan
- Exemples. Cartes géographiques.

XIV - THÉORIE DES SURFACES. APPLICATIONS

1 - Lignes asymptotiques et lignes de courbure de quelques surfaces.
- Lignes asymptotiques de quelques surfaces.
- Lignes de courbure. Formules de Rodrigues. L'inversion conserve les lignes de courbure.
- Surfaces à lignes de courbure circulaires. Enveloppes de sphères. Cyclides de Dupin.
- Surfaces moulures.
- Problèmes divers relatifs aux courbes tracées sur une surface.

2 - Surfaces réglées non développables.
- Diverses formes des équations. Indicatrice sphérique et courbes sphériques.
- Élément linéaire. Variation du plan tangent. Point central. Ligne de striction.
- Lignes asymptotiques.

3 - Courbes et surfaces attachées aux congruences de courbes et de droites.
- Congruences de courbes. Surface focale.
- Cas de dégénérescence. Cas des équations paramétriques.
- Comparaison avec la théorie des intégrales singulières des systèmes différentiels.
- Congruences de droites.
- Condition pour qu'une congruence de droites soit une congruence de normales.
- Applications. Théorème de Malus.
- Courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire.

4 - Surfaces minima analytiques.
- Surfaces minima réglées et surfaces minima de révolution.
- Surfaces minima analytiques. Représentation au moyen des lignes de longueur nulle.
- Lignes asymptotiques et lignes de courbure. Représentations conformes.
- Surfaces minima dont les lignes de courbure sont planes. Surfaces d'Enneper.
- Surfaces minima passant par un contour donné.

5 - Problèmes fondamentaux de la théorie des surfaces.
- Formules de Codazzi.
- Problèmes fondamentaux de la théorie des surfaces.

XV - ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE

1 - Équations linéaires.
- Intégrale générale.
- Méthode de Cauchy. Caractéristiques.
- Problème de Cauchy. Singularités.

2 - Équations aux différentielles totales.
- Équation complètement intégrable. Existence et calcul des solutions.
- Interprétation géométrique. Méthode de Mayer. Cas analytique.
- Équation sous forme symétrique. Méthode de Bertrand.
- Cas des équations non résolues.

3 - Équation générale du premier ordre à deux variables.
- Interprétation géométrique. Méthode de Cauchy. Caractéristiques et développables caractéristiques.
- Existence des surfaces intégrales. Problème de Cauchy. Méthode de Darboux. Cas analytique.
- Courbes intégrales. Équation de Monge.
- Méthode de Lagrange et Charpit. Intégrales complètes.
- Comparaison des deux méthodes.
- Solutions généralisées de Lie.

4 - Extensions des résultats aux cas généraux.
- Extensions de la méthode de Cauchy.
- Extension de la méthode de Lagrange.
- Recherche d'une intégrale complète. Identité de Poisson. Méthode de Jacobi.
- Application à la mécanique.

XVI - NOTIONS SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE A DEUX VARIABLES

1 - Théorèmes d'existence. Caractéristiques.
- Théorème de Cauchy-Kowaleska.
- Théorème général d'existence. Caractéristiques. Cas des équations linéaire.
- Classification.

2 - Équations de Monge-Ampère.
- Caractéristiques des équations de Monge-Ampère. Surfaces intégrales.
- Intégrales premières et intégrales intermédiaires.

3 - Équations linéaires du type hyperbolique.
- Équations complètement linéaires. Méthode de Laplace.
- Équation adjointe et méthode de Riemann.
- Applications.
- Méthode des approximations successives.

4 - Équations linéaires du type elliptique.
- Équation de Laplace. Fonctions harmoniques. Formule de Green.
- Problème de Dirichlet. Fonction de Green. Formule de Poisson. Théorème de Harnack.
- Procédé alterné de Schwarz.
- Équation linéaire à coefficients constants.

5 - Équations du type parabolique.
- Équation de la chaleur.
- Solution de Fourier.
- Questions d'unicité. Propriétés générales des solutions.