Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome II

Chapitres XII à XV 

Paris, Gauthier-Villars
3^e édition, 1982
Tirage 1983

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série : Dieudonné - Éléments d'Analyse 
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Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2005
17 x 24 cm
458 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-212-9



P R É S E N T A T I O N

Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse.

Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII.

Les notions élémentaires d'Analyse fonctionnelle introduites aux chapitres III, V, VI et VII ne sont plus tout à fait suffisantes pour les besoins des chapitres XIII à XV ; aussi a-t-on groupé en un chapitre XII les compléments nécessaires ; on y a aussi inséré les rudiments de la théorie des groupes topologiques, qui va intervenir de façon essentielle à partir du chapitre XVI.


S O M M A I R E

XII - Compléments de topologie et d'algèbre topologique.
- Espaces topologiques.
- Notions topologiques.
- Espaces séparés.
- Espaces uniformisables.
- Produits d'espaces uniformisables.
- Recouvrements localement finis et partitions de l'unité.
- Fonctions semi-continues.
- Groupes topologiques.
- Groupes métrisables.
- Espaces à opérateurs et espaces d'orbites.
- Espaces homogènes.
- Groupes quotients.
- Espaces vectoriels topologiques.
- Espaces localement convexes.
- Topologies faibles.
- Le théorème de Baire et ses conséquences.

XIII - Intégration.
- Définition d'une mesure.
- Mesures réelles.
- Mesures positives. Valeur absolue d'une mesure.
- Topologie vague.
- Intégrales supérieure et inférieure par rapport à une mesure positive.
- Fonctions et ensembles négligeables. Fonctions et ensembles intégrables.
- Les théorèmes de convergence de Lebesgue.
- Fonctions mesurables.
- Intégrales de fonctions vectorielles.
- Les espaces L¹ et L².
- L'espace L^∞.
- Mesures de base μ.
- Intégration par rapport à une mesure positive de base μ.
- Le théorème de Lebesgue-Nikodym et la relation d'ordre dans M_R(X).
- Applications : I. Intégration par rapport à une mesure complexe.
- Applications : II. Dual de L¹.
- Décompositions canoniques d'une mesure.
- Support d'une mesure. Mesures à support compact.
- Mesures bornées.
- Produit de mesures.

XIV - Intégration dans les groupes localement compacts.
- Existence et unicité d'une mesure de Haar.
- Cas particuliers et exemples.
- Fonction module sur un groupe; module d'un automorphisme.
- Mesure de Haar sur un groupe quotient.
- Convolution de mesures sur un groupe localement compact.
- Exemples et cas particuliers de convolutions de mesures.
- Propriétés algébriques de la convolution.
- Convolution d'une mesure et d'une fonction.
- Exemples de convolutions de mesures et de fonctions.
- Convolution de deux fonctions.
- Régularisation.

XV - Algèbres normées et théorie spectrale.
- Algèbres normées.
- Spectre d'un élément d'une algèbre normée.
- Caractères et spectre d'une algèbre de Banach commutative. Transformation de Gelfand.
- Algèbres de Banach involutives et algèbres stellaires.
- Représentations des algèbres involutives.
- Formes linéaires positives et représentations; formes hilbertiennes positives.
- Traces, bitraces et algèbres hilbertiennes.
- Algèbres hilbertiennes complètes.
- Le théorème de Plancherel-Godement.
- Représentations des algèbres de fonctions continues.
- La théorie spectrale de Hilbert.
- Opérateurs normaux non bornés.
- Prolongement des opérateurs hermitiens non bornés.