Jean DIEUDONNÉ

ÉLÉMENTS D'ANALYSE

Tome III

Chapitres XVI et XVII 

Paris, Gauthier-Villars
2^e édition, 1974
Tirage 1980

Auteur :
Jean DIEUDONNÉ

Série : Dieudonné - Éléments d'Analyse 
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Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 2020
17 x 24 cm
392 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-213-6



P R É S E N T A T I O N

Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.

Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rⁿ, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.

Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.


S O M M A I R E

XVI -Variétés différentielles.
- Cartes, atlas, variétés.
- Exemples de variétés différentielles. Difféomorphismes.
- Applications différentiables.
- Partitions différentiables de l'unité.
- Espaces tangents; applications linéaires tangentes; rang.
- Produits de variétés.
- Immersions, submersions, subimmersions.
- Sous-variétés.
- Groupes de Lie.
- Espaces d'orbites; espaces homogènes.
- Exemples : groupes unitaires, variétés de Stiefel, grassmanniennes, espaces projectifs.
- Fibrations.
- Définition de fibrations par des cartes.
- Espaces fibrés principaux.
- Espaces fibrés vectoriels.
- Opérations sur les fibrés vectoriels.
- Suites exactes, sous-fibrés et fibrés quotients.
- Morphismes canoniques de fibrés vectoriels.
- Image réciproque d'un espace fibré vectoriel.
- Formes différentielles.
- Variétés orientables et orientations.
- Changement de variables dans les intégrales multiples et mesures lebesguiennes.
- Le théorème de Sard.
- Intégrale d'une n-forme différentielle sur une variété pure orientée de dimension n.
- Théorèmes de plongement et d'approximation. Voisinages tubulaires.
- Homotopies et isotopies différentiables.
- Groupe fondamental d'une variété connexe.
- Revêtements et groupe fondamental.
- Revêtement universel d'une variété différentielle.
- Revêtements d'un groupe de Lie.

XVII - Calcul différentiel sur une variété différentielle.
I. Distributions et opérateurs différentiels.
- Les espaces g^(r)(U) (U ouvert dans Rⁿ).
- Espaces de sections C^∞ (resp. C^r) de fibrés vectoriels.
- Courants et distributions.
- Définition locale d'un courant. Support d'un courant.
- Courants sur une variété orientée. Distributions sur Rⁿ.
- Distributions réelles. Distributions positives.
- Distributions à support compact. Distributions ponctuelles.
- Topologie faible sur les espaces de distributions.
- Exemple : parties finies d'intégrales divergentes.
- Produit tensoriel de distributions.
- Convolution des distributions sur un groupe de Lie.
- Régularisation des distributions.
- Opérateurs différentiels et champs de distributions ponctuelles.
- Champs de vecteurs comme opérateurs différentiels.
- Différentielle extérieure d'une p-forme différentielle.
- Connexions sur un espace fibré vectoriel.
- Opérateurs différentiels associés à une connexion.
- Connexions sur une variété différentielle.
- Différentielle extérieure covariante.
- Courbure et torsion d'une connexion.

Annexe -Compléments d'algèbre (suite).
- Modules; modules libres.
- Dualité des modules libres.
- Produits tensoriels de modules libres.
- Tenseurs.
- Tenseurs symétriques et tenseurs antisymétriques.
- Algèbre extérieure.
- Dualité dans l'algèbre extérieure.
- Produits intérieurs.
- Formes bilinéaires alternées non dégénérées et groupe symplectique.
- Algèbre symétrique.
- Dérivations et antidérivations des algèbres graduées.
- Algèbres de Lie.