Si le lecteur veut bien nous suivre sans parti pris, et étudier avec nous la question des origines de la Géométrie d'après Euclide même, il sera peu à peu et facilement amené à se rendre compte de l'existence logique des trois systèmes euclidien, lobatschewskien, riemannien, en même temps qu'il acquerra la notion nette de leurs analogies et différences.
Paul BARBARIN

Des enthousiastes sans jugement conduisent l'élève à croire que la géométrie est « hors du courant essentiel des mathématiques » et qu'elle devrait être remplacée par l'analyse ou la théorie des ensembles.
Cette situation inférieure de la géométrie dans les programmes scolaires est peut-être due à ce que les éducateurs connaissent mal la nature de la géométrie et les progrès réalisés au cours du développement de cette dernière. Parmi ces progrès, figurent maints beaux résultats ; par exemple le théorème de Brianchon, le théorème de Feuerbach, le théorème de Petersen-Schoute et le théorème de Morley. Il faut se rappeler, selon l'histoire, qu'Euclide écrivit pour des adultes se préparant à étudier la géométrie. D'autre part, jusqu'au vingtième siècle, l'une des principales raisons justifiant l'enseignement de la géométrie était que la méthode axiomatique de cette dernière constituait, croyait-on, la meilleure introduction au raisonnement déductif ; et, naturellement, en vue d'un enseignement efficace, on insistait sur cette méthode. Cependant, quand cela lui convenait, nul géomètre, ancien ou moderne, n'a hésité à utiliser des procédés moins orthodoxes. Si la trigonométrie, la géométrie analytique ou les méthodes vectorielles peuvent l'aider, le géomètre y aura recours. De plus, il a inventé des techniques modernes, à la fois élégantes et puissantes, qui lui sont propres : l'une d'elles repose sur l'emploi de transformations telles que rotations, symétries et homothéties, qui permettent d'abréger la démonstration de certains théorèmes, et, aussi, établissent un lien entre la géométrie, d'une part, la cristallographie et l'art, d'autre part. Le chapitre 4 est consacré à cet aspect « dynamique » de la géométrie. Une autre technique « moderne » fait appel à l'inversion qui traite de points et de cercles en considérant une droite comme un cercle passant par le « point à l'infini ». Le chapitre 5 en donnera quelques aperçus. Enfin, une troisième technique est celle de la géométrie projective qui, sans s'attacher aux distances et aux angles, met en lumière l'analyse entre points et droites (celles-ci étant infiniment étendues et non limitées à de simples segments). Ici, deux points quelconques sont joints par une droite, et deux droites quelconques se coupent en un point ; de plus, deux droites parallèles sont considérées comme ayant un point commun situé sur « la droite à l'infini ». Dans le chapitre 6, on trouvera quelques indications sur ce sujet.
Aujourd'hui encore, la géométrie possède toutes les vertus que les éducateurs lui attribuaient il y a une génération : elle existe toujours dans la nature, et attend qu'on la découvre et qu'on apprécie. Pour l'élève, et surtout par ses propriétés projectives, la géométrie ne cesse de constituer une excellente introduction à l'axiomatique. Elle possède encore l'attrait esthétique qu'elle a toujours eu, et la beauté de ses résultats ne s'est pas estompée. En fait, elle est plus utile et même plus nécessaire aux savants et aux mathématiciens qu'elle ne le fut jamais : on le voit en considérant, par exemple, les formes des orbites des satellites artificiels et la géométrie à quatre dimensions dans le continu espace-temps.
Au cours des siècles, la géométrie s'est développée. De nouveaux concepts, de nouvelles méthodes d'action furent forgés : à l'élève, ils apporteront défi et surprise. Par les moyens qui nous conviendront le mieux, revenons donc à Euclide ; et, pour nous-mêmes, découvrons quelques-uns des plus récents résultats. Peut-être pourrons-nous, ainsi, retrouver un peu de l'intimidation émerveillée que suscita en nous le premier contact avec la géométrie…
H. S. M. COXETER, Avant-Propos

Nous présentons ces Compléments de Géométrie dans lesquels nous exposons d'une manière substantielle quelques-unes des théories modernes indispensables à quiconque veut connaître la Géométrie et s'intéresser à ses problèmes et à ses progrès.

Notre tâche a été grandement facilitée par l'introduction des éléments imaginaires qui éclaire la représentation des faits géométriques au moyen des méthodes de la Géométrie analytique classique. Tout en conservant en effet aux exposés purement géométriques la priorité qui leur était due dans un ouvrage de cette nature, nous n'avons pas cru devoir nous interdire l'emploi du calcul quand il apparaît plus efficace ; nous avons pensé, selon les termes d'un brillant géomètre de notre temps, qu'en la circonstance la seule règle du jeu, c'est de raisonner juste.
L'ouvrage se divise en trois parties d'importance à peu près égale ; Géométrie métrique, Géométrie projective, Géométrie anallagmatique.
Le texte en caractères courants concerne les matières du niveau des classes de Mathématiques Supérieures et de Mathématiques Spéciales ; dans les parties composées en caractères plus petits, nous avons voulu simplement satisfaire la juste curiosité des meilleurs élèves de ces classes et faciliter la tâche des candidats aux Concours de recrutement du personnel enseignant. On ne saurait d'ailleurs trop répéter combien la connaissance des théories générales des transformations, complétée par leur application à des problèmes même fort simples, éclaire à la fois la solution de ces problèmes et l'enseignement élémentaire en leur retirant tout caractère artificiel ou arbitraire. Un souci des choses concrètes que nous croyons pédagogiquement utile nous a conduit à multiplier les figures plus, semble-t-il qu'il n'est coutume en la matière.
Robert DELTHEIL et Daniel CAIRE

Nous nous proposons, dans cet aperçu, de présenter une analyse rapide des principales découvertes qui ont porté la Géométrie pure au degré d'extension où elle est parvenue de nos jours, et particulièrement de celles qui ont préparé les méthodes récentes.
Nous indiquerons ensuite, parmi ces méthodes, celles auxquelles nous paraissent pouvoir se rattacher la plupart des innombrables théorèmes nouveaux dont s'est enrichie la science dans ces derniers temps.
Enfin nous exposerons la nature et le caractère philosophique des deux principes généraux de l'étendue, qui font l'objet principal de ce mémoire.
Michel CHASLES, But de l'Ouvrage

Lorsqu'on pense que c'est cette Géométrie qui fut si féconde, entre les mains des Archimède, des Hipparque, des Apollonius ; que c'est la seule qui fut connue des Neper, des Viète, des Fermat, des Descartes, des Galilée, des Pascal, des Huygens, des Roberval ; que les Newton, les Halley, les Maclaurin la cultivèrent avec une sorte de prédilection, on peut croire que cette Géométrie a ses avantages.
Lazare CARNOT, Géométrie de Position, 1803

Ce Volume est divisé en quatre Sections.
La première contient un ensemble de propositions dont l'enchaînement naturel donne lieu à trois théories qui se font suite et sont le développement d'une même notion et d'un même théorème fondamental.
Cette notion se rapporte à une certaine fonction de segments ou d'angles, appelées rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites.
Les trois théories successives auxquelles donne lieu cette fonction, que l'on considère dans un ou plusieurs systèmes soit de quatre points, soit de quatre droites, peuvent être dites théories du rapport anharmonique, des divisions et faisceaux homographiques, et de l'involution.
Ces théories forment la base de nos procédés de démonstration. Chacune des propositions dont elles se composent s'y trouve comme un anneau nécessaire à leur enchaînement continu, et toutes sont susceptibles d'applications ultérieures très diverses.
Michel CHASLES, Préface

Ayant dû présenter une analyse de l'ouvrage de Pappus, surtout des nombreux Lemmes relatifs aux Porismes d'Euclide, dans l'Aperçu historique, où je traitais de l'origine et du développement des Méthodes en Géométrie, j'ai été conduit à m'occuper, après tant d'autres géomètres, de la question des Porismes. L'intérêt du sujet m'a entraîné souvent dans des recherches plus prolongées que je ne l'aurais voulu, excité par le désir de parvenir à porter un jugement sur le travail de Simson, et même à donner suite, s'il m'était possible, à cette divination qui paraissait comporter plusieurs questions essentielles, indépendamment du rétablissement de l'ouvrage lui-même.
On avait remarqué dans les Lemmes de Pappus certaines traces de la théorie des transversales, telles que quelques propriétés relatives au rapport harmonique de quatre points et une relation d'involution dans le quadrilatère coupé par une droite.
Un nouvel examen de ces Lemmes m'y a fait reconnaître une autre proposition, plus humble en apparence peut-être, et qui, par cette raison sans doute, avait échappé aux investigations antérieures, quoique, en réalité, elle ait une bien plus grande importance que toutes les autres. Il s'agit, en effet, de la propriété projective du rapport anharmonique de quatre points, qui se trouve démontrée dans six Lemmes différents et dont, en outre, Pappus fait usage pour la démonstration de plusieurs autres Lemmes.
Ces circonstances, bien propres à fixer toute mon attention, pouvaient m'autoriser à penser que les propositions d'Euclide étaient de celles auxquelles conduisent naturellement les développements et les applications de la notion du rapport anharmonique, devenus fondamentale dans la géométrie moderne.
Parmi ces développements se présente en première ligne la théorie des divisions homographiques formées sur deux droites ou sur une seule, dont le caractère propre consiste en ce que le rapport anharmonique de quatre points d'une division est égal à celui des quatre points correspondants de l'autre division : ce qu'on exprime par des équations à deux, à trois et à quatre termes.
Or, ces équations une fois connues, on ne pouvait manquer de s'apercevoir que la plupart des énoncés de Pappus constituent des relations de segments telles que celles qui se déduisent de ces équations mêmes. Remarque importante, car elle devait faire espérer que ce pourrait être cette théorie fort simple des divisions homographiques qui donnerait enfin la clef des nombreux Porismes énoncés par Pappus et dont la signification avait résisté aux efforts de tant de géomètres et de Simson lui-même.
Et en effet, ce point de départ dans mes essais de divination m'a conduit assez aisément au rétablissement de la plupart des énoncés de Pappus, c'est-à-dire, à des propositions, souvent très multiples, qui satisfont aux conditions exprimées par ces énoncés concis et énigmatiques.
Michel CHASLES, Introduction

Après avoir précisé le caractère hautement analytique de la Géométrie moderne, et donné quelques notions préliminaires sur les transformations des figures, nous étudions les divisions et les faisceaux homographiques ou en involution, puis les transformations homographiques et corrélatives dans le plan et dans l'espace. Nous appliquons ensuite ces théories à l'étude de propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Nous terminons par une étude sommaire de l'inversion, des transformations quadratiques planes, et disons quelques mots de la transformation de Lie.
Nous nous sommes efforcés de mettre les lecteurs en mesure de se servir eux-mêmes des méthodes indiquées pour résoudre les problèmes qu'ils ont à traiter ; aussi avons-nous donné un grand nombre d'exemples variés, tout en adoptant, dans ces applications, une rédaction assez concise pour exiger de nos lecteurs ces quelques efforts de réflexion sans lesquels tout travail reste le plus souvent sans profit réel.
Des notes nombreuses donnent de brèves indications historiques.
Ernest DUPORCQ, Préface

Euclide vivait du temps de Ptolémée-Lagus, vers l'an 272 avant l'ère vulgaire ; Archimède l'a cité dans plusieurs de ses livres. Ptolémée ayant demandé à Euclide s'il n'y avait pas de manière plus facile que la sienne pour apprendre la Géométrie, Euclide répondit qu'il n'y avait pas de chemin royal pour arriver à cette science. C'est tout ce que nous savons d'Euclide : on ignore même quelle fut sa patrie.
Beaucoup de géomètres avaient paru avant Euclide. Le premier des Grecs, Euclide rassembla leurs ouvrages, les mit dans un ordre convenable, et donna des démonstrations inattaquables de ce qui n'avait pas été démontré d'une manière rigoureuse.
Euclide avait composé un grand nombre d'ouvrages. Les treize livres des Éléments et les Données sont les seuls qui soient parvenus jusqu'à nous.
Les Éléments d'Euclide ont toujours été regardés comme le plus parfait de tous les livres élémentaires ; ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues.
[...]
Pemberton nous apprend qu'il avait entendu plusieurs fois Newton se plaindre de s'être livré tout entier aux ouvrages de Descartes, et des autres algébristes, avant d'avoir étudié et médité les Éléments d'Euclide.
Lagrange, dont l'Europe déplore et déplorera longtemps la perte, me répétait souvent que la Géométrie était une langue morte ; que celui qui n'étudiait pas la Géométrie dans Euclide, faisait la même chose que celui qui voudrait apprendre le grec et le latin, en lisant les ouvrages modernes écrits dans ces deux langues.
François PEYRARD, Préface

La sixième édition des Exercices de Géométrie complète celle de 1907, en y ajoutant un certain nombre de questions intéressantes et de nombreuses indications biographiques et bibliographiques.
Les Théorèmes et Problèmes nouvellement introduits ont eu beaucoup moins pour but d'accroître le nombre des Exercices proposés, que de développer certains groupes naturels, en comblant les lacunes qu'ils présentaient, ou en leur donnant l'extension qu'ils semblaient réclamer.
Des notes, parfois très étendues, réunissent et résument des renseignements disséminés dans de nombreux recueils.
Notre travail s'adressant à ceux qui cultivent avec prédilection les études de Géométrie élémentaire, il nous a paru utile de leur épargner des recherches qui ne sauraient aboutir ; par suite, nous indiquons un assez grand nombre de questions, très simples en apparence, mais dont la solution échappe aux éléments de Géométrie et d'Algèbre.
Les diverses tables qui accompagnent les Exercices de Géométrie élémentaire et de Géométrie descriptive, ayant été fort appréciées, nous développons cette source féconde de renseignements ; ainsi, dans cette cinquième édition, nous indiquons les questions nouvellement introduites et un assez grand nombre de références complémentaires.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement

 

Ces Compléments, ainsi que le nom l'indique, sont de simples développements de certaines parties du Cours élémentaire de Trigonométrie. Ils renferment des détails qui ne sont qu'indiqués au livre de l'élève, des théories qui n'ont pu trouver place dans le cours, des méthodes générales pour la recherche de quelques formules trigonométriques, et surtout des indications très étendues pour arriver à la résolution convenable des problèmes. Ils supposent la connaissance entière du cours ; de telle sorte qu'il ne faudra pas être surpris de trouver dans quelques exercices du commencement un appel à des notions étudiées seulement à la fin du cours.
Bien qu'il n'y soit pas question de Trigonométrie sphérique, et que l'on se soit restreint aux seuls éléments de la Trigonométrie rectiligne, néanmoins en les étudiant sérieusement, il sera facile d'acquérir la conviction que, dans les sciences du calcul, la Trigonométrie est un auxiliaire éminemment utile. Elle met, en effet, au service de toutes les recherches mathématiques des ressources variées, des procédés ingénieux, des méthodes élégantes, qui en font un des plus puissants moyens d'investigation. Les jeunes gens qui s'adonnent à cette étude ne tardent pas à constater que la recherche des formules renferme tout un art délicat et plein d'attrait, et que leur application donne à la plupart des solutions un véritable cachet d'élégante simplicité.
Les nombreuses questions traitées dans ces Compléments sont extraites presque toutes des sujets de composition donnés à divers examens ; les autres ont été empruntées aux auteurs anglais, et particulièrement à l'excellente Trigonométrie de M. Todhunter.
A la suite, on trouvera les solutions de tous les exercices et problèmes proposés dans les Éléments de Trigonométrie.
F. G.-M. (Frère GABRIEL-MARIE), Avertissement

Les Grecs nous ont laissé la géométrie élémentaire et c'est par le rappel de leurs découvertes que nous débuterons. Le développement de la géométrie grecque est marqué par les étapes : Pythagore, les Éléates, Euclide, Apollonius. Nous avons ajouté à ce premier chapitre quelques indications sur les théorèmes de Quételet et Dandelin relatifs aux coniques, théorèmes que l'on verrait sans surprise figurer dans le Traité d'Apollonius.
Après la période grecque, il faut attendre le XVII^e siècle pour voir apparaître de nouvelles méthodes en géométrie. C'est en premier lieu la méthode des coordonnées de Descartes et Fermat, la géométrie analytique, qui fait l'objet du second chapitre. C'est en second lieu la méthode des projections, qui apparaît, avec Desargues et Pascal, en même temps que la géométrie analytique. Mais l'élaboration de la géométrie projective sera beaucoup plus lente : ce n'est qu'au début du XVIII^e siècle, après Monge et Carnot, qu'elle sera érigée en doctrine autonome par Poncelet et largement développée par Chasles. Cette géométrie fait l'objet du troisième chapitre.
Nous avons consacré le quatrième chapitre à l'exposé des recherches sur les principes de la géométrie et le cinquième à l'introduction en géométrie de la notion de groupe. On sait que cette notion, due à un mathématicien de vingt ans, Évariste Galois, dont la vie fut aussi brève que tourmentée, a permis à Sophus Lie et Félix Klein une classification rationnelle des géométries ; nous en donnons les grands traits. Le cadre élémentaire que nous nous sommes tracé ne nous a pas permis, autrement que par une brève allusion, d'indiquer la remarquable extension donnée tout récemment aux idées de Lie et Klein par Élie Cartan.
Le dernier chapitre a trait à la topologie. Nous avons introduit celle-ci, suivant une idée de Federigo Enriques , en partant de la géométrie élémentaire et en faisant successivement abstraction de la notion de ligne droite, puis de celle de distance. Grâce à un large appel à l'intuition, nous espérons que le lecteur pourra se faire une idée de la nature de cette géométrie.
Il nous resterait bien des points à traiter. Nous avons brièvement indiqué les géométries hyperspatiales, la géométrie algébrique, ,et la géométrie infinitésimale classique.
Nous avons tâché d'écrire le livre que nous eussions voulu lire quand nous avions vingt ans. Puisse-t-il rendre quelque service !
Lucien GODEAUX, Avant-Propos

Comme l'arithmétique, la géométrie n'exige pour son élaboration qu'un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l'établissement de ces axiomes et l'étude de leurs relations ont fait l'objet de travaux nombreux et excellents. Ce problème est celui de l'analyse de notre intuition de l'espace.
Le présent travail est un nouvel essai de constituer, pour la géométrie, un système complet d'axiomes aussi simples que possible et d'en déduire les théorèmes les plus importants, de façon à mettre en évidence le rôle des divers groupes d'axiomes et la portée de chacun d'eux.
David HILBERT, Introduction

Notre ouvrage est une étude critique des principes de la géométrie ; l'idée directrice a été de rechercher si la réponse à une question donnée est possible, certains moyens étant imposés à l'avance. Cette idée paraît contenir une règle générale et naturelle ; lors de l'étude d'un problème mathématique ou d'un théorème, notre sens de la connaissance est satisfait dans les cas suivants : nous avons trouvé la solution complète du problème ou une démonstration rigoureuse du théorème ; si nous échouons, la raison de la nécessité de l'échec ou de l'impossibilité de la réussite est bien mise en évidence.
Ainsi, dans les mathématiques modernes, les questions posées par l'impossibilité de certaines solutions ou l'impossibilité de quelques problèmes jouent un rôle de premier plan ; le désir de répondre à une telle question a souvent été l'occasion de découvertes importantes. Citons la démonstration par Abel de l'impossibilité de la solution par radicaux de l'équation de degré cinq, la découverte de l'impossibilité de la démonstration de l'axiome des parallèles, et les théorèmes de Hermite et de Lindemann, de l'impossibilité de construire algébriquement les nombres e et π.
Lors de l'examen de la possibilité d'une démonstration, il faut veiller à la « pureté » des méthodes de démonstration ; l'importance de cette idée a souvent été mise en évidence par les mathématiciens. Ce besoin est au fond une forme subjective de l'idée directrice précédente. Notre travail a consisté en une recherche des axiomes, des conventions ou moyens auxiliaires nécessaires à la démonstration d'une vérité du domaine de la géométrie élémentaire ; dès lors, il ne reste plus qu'à choisir quelle méthode doit être préférée.
David HILBERT, Conclusion

Le « programme d'Erlangen » de Félix Klein est, à juste titre, considéré comme un des jalons les plus importants de l'histoire des mathématiques au XIX^e siècle. Avec un siècle de recul, on peut dire qu'il constitue une sorte de « ligne de partage des eaux » : il apparaît comme un aboutissement de la longue et brillante évolution de la Géométrie projective depuis le début du siècle, qu'il résume, condense et « explique » grâce à la mise en valeur du rôle fondamental joué par le concept de groupe. En ce faisant, il inaugure en même temps la domination que va graduellement exercer la théorie des groupes sur toutes les mathématiques (et non seulement la Géométrie), ainsi que la fusion de plus en plus étroite des concepts issus de l'Algèbre, de la Géométrie ou de l'Analyse : tendances qui sont parmi les plus caractéristiques de la Mathématique d'aujourd'hui.
Jean DIEUDONNÉ, Préface

Il faudrait principalement s'attacher à donner quelques méthodes générales pour la solution d'un problème, suivant la manière de l'aborder, de le conduire au résultat, et de traduire cette dernière partie dans le langage de l'énoncé. C'est sans doute ce qu'il y aurait de plus difficile ; la multiplicité des moyens dont la Géométrie, dont l'Algèbre même peuvent se servir pour arriver au but proposé, la variété des questions, tout contribuerait à éloigner les méthodes générales ; mais on pourrait, il me semble, classer les problèmes suivant les ressemblances plus ou moins grandes de leurs moyens de solution, et l'on parviendrait peut-être, sinon à une méthode unique, du moins à un composé fini de moyens différents, que l'on pourrait regarder comme généraux vu leurs nombreuses applications
Tel est le but que je me propose dans le cours de cet Ouvrage. Je commencerai par récapituler les moyens de la Géométrie simple pour résoudre les problèmes ; je lui associerai ensuite le calcul. Je rendrai les principes que je présenterai plus clairs, plus frappants, par quelques exemples ; si les solutions que j'offre ne sont pas les plus simples, les plus élégantes, elles fourniront à mes lecteurs au moins un énoncé à travailler, et je m'applaudirai en faisant mal, d'avoir procuré à d'autres l'occasion de bien faire.
Gabriel LAMÉ, Introduction

A reparaître

Le Livre étudie, dans la première Partie, à la lumière des théories modernes, les problèmes célèbres de l'antiquité sur les constructions par la règle et le compas et soulève à leur sujet nombre de questions nouvelles ; il traite aussi des courbes décrites par les points d'un système articulé. Une seconde Partie est consacrée à la solution des problèmes d'algèbre soulevés par ces constructions géométriques et, en particulier, aux questions de rationalité, d'irrationalité ou de transcendance ; à l'inscription des polygones réguliers dans le cercle. Enfin, une troisième Partie s'occupe des points à coordonnées rationnelles situés sur une courbe algébrique, de la construction des points de ces courbes et relie ces questions aux notions de genre, de surfaces de Riemann et à la théorie des nombres.
A propos de problèmes qui s'énoncent aisément, l'Auteur a écrit un livre d'une grande richesse conduisant le lecteur dans bien des domaines de la géométrie et de l'analyse modernes avec une grande simplicité de moyens et un rare bonheur d'expression.
Paul MONTEL, Préface