Saunders MacLANE et Garrett BIRKHOFF

ALGÈBRE

Tome I
Structures fondamentales

Traduit par J. Weil
Préface de Jean Dieudonné

Paris Gauthier-Villars
1970

Tome II
Les grands théorèmes
Théorie de Galois

Traduit par J. Weil

Paris, Gauthier-Villars
1971

 [suivi de :]

SOLUTIONS DÉVELOPPÉES DES EXERCICES

Partie I
Ensembles. Groupes. Anneaux. Corps
par
J. WEIL et J. HOCQUEMILLER

Préface de Saunders MacLane et Garrett Birkhoff

Paris, Gauthier-Villars
1972

Partie II
Algèbre linéaire
par
D. ALLOUCH, ALAIN MÉZARD, J.-C. VAILLANT et J. WEIL

Paris, Gauthier-Villars
1973

Partie III
Les grands théorèmes
Théorie de Galois
par
Charles DELORME, Christine LAVIT, ALAIN MÉZARD et Jean-Claude RAOULT

Paris, Gauthier-Villars
1976

Auteurs :
Saunders MacLANE
Garrett BIRKHOFF
J.-C. VAILLANT
Ch. DELORME
D. ALLOUCH
J.-Cl. RAOULT
A. MÉZARD
C. LAVIT
J. HOCQUEMILLER
J. WEIL

Préface :
Jean DIEUDONNÉ

Traduction :
J. WEIL

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Problèmes

Reprint 1996
24,5 x 18 cm, oblong
744 p.
Relié
5 volumes en 1
ISBN : 978-2-87647-138-2


S O M M A I R E

Saunders MacLANE et Garrett BIRKHOFF
ALGÈBRE

I - Ensembles, fonctions et éléments universels.
- Ensembles.
- Fonctions.
- Fonctions inverses.
- Couples.
- Ensembles fonctionnels.
- Opérations binaires.
- Ensembles-quotients.
- Éléments universels.
- Dualité.

II - Les entiers.
- Les entiers naturels.
- Addition et multiplication.
- Inégalités.
- Les entiers.
- Les entiers modulo n.
- Ensembles finis
- Morphismes.
- Ordre partiel et treillis.
- Semi-groupes et monoïdes.
- Catégories concrètes.
- Récurrence.

III - Groupes.
- Groupes et symétrie.
- Règles de calcul.
- Groupes cycliques.
- Sous-groupes.
- Relations de définition.
- Groupes symétriques et alternés.
- Groupes de transformations.
- Classes modulo un sous-groupe.
- Noyau et image.
- Groupes-quotients.
- La catégorie des groupes.

IV - Anneaux.
- Axiomes d'anneaux.
- Constructions d'anneaux.
- Anneaux-quotients.
- Anneaux d'intégrité et corps commutatifs.
- Le corps des quotients.
- Polynômes.
- Fonctions polynomiales.
- L'algorithme de la division.
- Anneaux principaux.
- Factorisation unique.
- Corps premiers.
- Algorithme d'Euclide.
- Anneaux-quotients commutatifs.

V - Corps spéciaux.
- Anneaux ordonnés.
- Le corps ordonné Q.
- Équations algébriques.
- Convergence dans les corps ordonnés.
- Le corps des réels R.
- Polynômes sur R.
- Le plan complexe.
- Irréductibilité sur C et R.
- Corps quadratiques.

VI - Modules.
- Exemples de modules.
- Applications linéaires.
- Sous-modules.
- Modules-quotients.
- Modules libres et modules fonctionnels .
- Biproduits.
- Modules duals.
- Bimodules.

VII - Espaces vectoriels.
- Bases.
- Dimension.
- Constructions de bases.
- Espaces vectoriels en dualité.
- Opérations élémentaires.
- Systèmes d'équations linéaires.
- Les quaternions.

VIII - Matrices.
- Matrices et modules libres.
- Matrices et biproduits.
- Matrice d'une application.
- Matrice d'un produit (de composition).
- Rang d'une matrice.
- Matrices inversibles.
- Changement de base.
- Vecteurs et valeurs propres.

IX - Déterminants et produits tensoriels.
- Fonctions multilinéaires et alternées.
- Déterminant d'une matrice.
- Cofacteurs et règle de Cramer.
- Déterminant d'une application.
- Polynôme minimal.
- Applications bilinéaires universelles.
- Produit tensoriel.
- Suites exactes.
- Relations entre produits tensoriels et Hom.
- Extensions de l'anneau des scalaires.
- Algèbres.

X - Similitude des matrices et groupes abéliens finis.
- Modules noethériens.
- Modules cycliques.
- Modules de torsion.
- Forme canonique rationnelle des matrices.
- Modules primaires.
- Modules libres. -
- Équivalence des matrices.
- Calcul des facteurs invariants.
- Modules projectifs et injectifs .
- Théorème de la base de Hilbert.
- Anneaux factoriels.

XI - Formes quadratiques.
- Formes bilinéaires.
- Matrices symétriques.
- Formes quadratiques.
- Formes quadratiques réelles.
- Produits scalaires.
- Bases orthonormales.
- Matrices orthogonales.
- Théorème de l'axe principal.
- Espaces hermitiens.
- Matrices normales.

XII - Espaces affines et projectifs.
- La droite affine.
- Espaces affines.
- Le groupe affine.
- Sous-espaces affines.
- Fonctionnelles biaffines et quadratiques.
- Espaces euclidiens.
- Quadriques euclidiennes.
- Espaces projectifs.
- Quadriques projectives.
- Espaces affines et projectifs.

XIII - Structure des groupes.
- Théorème d'isomorphisme.
- Extensions de groupes.
- Sous-groupes caractéristiques.
- Classes de conjugués.
- Théorèmes de Sylow.
- Groupes nilpotents.
- Groupes résolubles.
- Théorème de Jordan-Hölder.
- Simplicité de A_n.

XIV - Treillis.
- Ensembles ordonnés : principe de dualité.
- Identités dans les treillis.
- Sous-treillis et produits de treillis.
- Treillis modulaires .
- Théorème de Jordan-Hölder-Dedekind.
- Treillis distributifs.
- Anneaux d'ensembles.
- Treillis de Boole ; algèbres de Boole.
- Algèbres de Boole libres.

XV - Catégories et foncteurs adjoints.
- Ensembles et classes.
- Catégories.
- Foncteurs.
- Foncteurs contravariants.
- Transformations naturelles.
- Foncteurs représentables et éléments universels.
- Produits et égalisateurs.
- Foncteurs adjoints.

XVI - Algèbre multilinéaire.
- Produits tensoriels itérés.
- Espaces de tenseurs.
- Modules gradués.
- Algèbres graduées.
- Algèbre tensorielle graduée.
- Algèbre extérieure d'un module.
- Déterminants et algèbre extérieure.
- Sous-espaces et algèbre extérieure.
- Dualité dans l'algèbre extérieure.
- Formes alternées et tenseurs antisymétriques.

XVII - Théorie de Galois.
- Extensions algébriques et transcendantes.
- Adjonction de racines.
- Degrés et extensions finies.
- Extensions algébriques itérées .
- Corps des racines d'une équation algébrique.
- Le groupe de Galois.
- Extensions séparables et inséparables.
- Propriétés du groupe de Galois.
- Sous-groupes et sous-corps.
- Corps finis.
- Insolubilité des équations du cinquième degré.