La géométrie analytique ne consiste pas simplement (comme on le dit quelquefois trop légèrement) dans l'application de l'algèbre à la géométrie : cette application avait déjà été faite par Archimède et par bien d'autres, et elle était devenue la façon usuelle d'opérer dans les ouvrages des mathématiciens du seizième siècle.
Le grand progrès accompli par Descartes tient à ce qu'il vit nettement, d'une part que la position d'un point dans un plan, peut être complètement déterminé par ses distances x et y, à deux droites fixes tracées à angle droit dans le plan, avec la convention qui nous est familière pour l'interprétation des valeurs positives et négatives ; il montra d'autre part que bien qu'une équation telle que f(xy) = 0 soit indéterminée et puisse être satisfaite par une infinité de valeurs de x et y, cependant ces valeurs de x et y déterminent les coordonnées d'un certain nombre de points dont l'ensemble forme une courbe et que l'équation f(xy) = 0 exprime les propriétés géométriques, communes à tous les points de la courbe.
Descartes vit aussi qu'un point de l'espace pouvait être déterminé d'une manière identique par trois coordonnées, mais il ne s'occupa que des courbes planes.
Il était dès lors évident que pour rechercher les propriétés d'une courbe il suffisait de choisir comme définition, une propriété géométrique caractéristique de cette courbe et de l'exprimer au moyen d'une équation entre les coordonnées (ordinaires) d'un point quelconque de la courbe, c'est à dire de traduire la définition dans la langue spéciale à la géométrie analytique. L'équation ainsi obtenue contient implicitement chacune des propriétés de la courbe, et une propriété particulière quelconque peut s'en déduire par l'algèbre ordinaire sans s'inquiéter de la forme de la courbe.
Tout cela peut avoir été entrevu d'une façon confuse par les anciens auteurs, mais Descartes alla plus loin et mit en évidence ces faits très importants que deux ou plusieurs courbes peuvent être rapportées à un seul et même système de coordonnées et que les points d'intersection de deux courbes se déterminent en cherchant les racines communes aux deux équations.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. I, 1906