Dans cet Ouvrage sont exposées quelques méthodes pour la résolution des questions concernant les propriétés du mouvement et, en particulier, de l'équilibre, qui sont connues sous les dénominations de stabilité et d'instabilité.
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L'essai unique, autant que je sache, de solution rigoureuse de la question appartient à M. Poincaré, qui, dans le Mémoire remarquable sous bien des rapports Sur les courbes définies par les équations différentielles, et en particulier, dans ses deux dernières Parties, considère des questions de stabilité relatives au cas des systèmes d'équations différentielles du second ordre et s'arrête aussi à quelques questions voisines, se rapportant à des systèmes du troisième ordre.
Bien que M. Poincaré se borne à des cas très particuliers, les méthodes dont il se sert permettent des applications beaucoup plus générales et peuvent encore conduire à beaucoup de nouveaux résultats. C'est ce qu'on verra par ce qui va suivre, car, dans une grande partie de mes recherches, je me suis guidé par les idées développées dans le Mémoire cité.
Le problème que je me suis posé, en entreprenant la présente étude, peut être formulé ainsi : indiquer les cas où la première approximation résout réellement la question de stabilité, et donner des procédés qui permettraient de la résoudre, au moins dans certains cas, quand la première approximation ne suffit plus.
Pour arriver à quelques résultats, il était tout d'abord nécessaire de faire certaines hypothèses, relativement aux équations différentielles considérées.
La plus simple, et en même temps celle qui conviendrait aux applications les plus importantes et les plus intéressantes, consisterait en ce que les coefficients dans les développements des seconds membres de ces équations sont des quantités constantes. L'hypothèse plus générale que ces coefficients sont des fonctions périodiques du temps correspondrait aussi à des questions intéressantes très nombreuses.
C'est dans ces deux hypothèses que je traite principalement la question.
Du reste, je touche en partie le cas plus général où lesdits coefficients sont des fonctions quelconques du temps qui ne dépassent jamais, en valeurs absolues, certaines limites.
Alexandre LIAPOUNOFF, Préface