MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-3, Équations différentielles ordinaires, 1910

 

ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome II  
ANALYSE

Volume 3  
Équations différentielles ordinaires

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de H. BURKHARDT et W. WIRTINGER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner
1910

Directeurs :
Jules MOLK
Heinrich BURKHARDT
Wilhelm WIRTINGER

Articles par :
Paul PAINLEVÉ
Ernest VESSIOT

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
96 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-106-1

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19^e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

II - 15
EXISTENCE DE L'INTÉGRALE GÉNÉRALE.
DÉTERMINATION D'UNE INTÉGRALE PARTICULIÉRE PAR SES VALEURS INITIALES.
Paul Painlevé

Position de la question.
1. Définitions et problèmes fondamentaux.
2. État de la théorie avant Cauchy.

Méthode de Cauchy-Lipschitz.
3. Principe de la méthode.
4. Perfectionnement de Lipschitz.
5. Intervalle exact de convergence de la méthode.
6. Intégrales premières d'un système différentiel.
7. Application de la méthode au champ complexe.
8. Cas où les coefficients différentiels sont continus sans satisfaire aux conditions de Lipschitz.

Méthode des approximations successives.
9. Principes et résultats de la méthode.
10. Corollaires.

Méthode de calcul des limites.
11. Principe et résultats de la méthode.
12. Développement de la méthode.
13. Détermination unique d'une solution par les conditions initiales.
14. Extension du domaine de convergence de la méthode.

Méthode de la variation des constantes.
15. Exposé de la méthode.

Méthode de la recherche des intégrales premières.
16. Exposé de la méthode.

Singularités ordinaires des coefficients différentiels.
17. Conditions initiales pour lesquelles certains des f_i sont méromorphes et infinis.
18. Conditions initiales constituant une singularité algébrique des f_i.
19. Systèmes différentiels algébriques d'ordre n.
20. Application aux équations du premier ordre. Intégrales singulières.
21. Cas où l'équation du premier ordre est algébrique.
22. Comparaison avec la théorie des enveloppes.
23. Intégrales singulières d'un système différentiel d'ordre quelconque.

Singularités non ordinaires du coefficient différentiel d'une équation du premier ordre.
24. Travaux de Briot et Bouquet relatifs aux équations xy' = ax + by + ...
25. Travaux de Picard et de Poincaré.
26. Méthode de Poincaré et compléments.
27. Cas général où f est méromorphe et de la forme 0/0.
28. Cas où f est algébroïde pour x = 0, y = 0.
29. Applications au domaine réel.
30. Travaux de Bendixson et de Horn.
31. Caractéristiques des équations du second degré.

Singularités non ordinaires des coefficients différentiels d'un système d'ordre quelconque.
32. Théorème général de Poincaré.
33. Compléments au théorème précédent.
34. Détermination, dans les cas exceptionnels, de classes de solutions particulières.
35. Cas général où les coefficients différentiels sont méromorphes.
36. Application au domaine réel.
37.Solutions asymptotiques réelles.

II - 16
MÉTHODES D'INTÉGRATION ÉLÉMENTAIRES.
ÉTUDE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES AU POINT DE VUE FORMEL.
Ernest Vessiot

Introduction.
1. Énoncé du problème général de l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires.
2. Aperçu historique sur le problème de l'intégration formelle.
3. Changements de variables. Problèmes d'équivalence.
4. Théories rationnelles d'intégration.

Équations du premier ordre.
5. Séparation des variables.
6. Facteur intégrant.
7. Méthodes de Lie.
8. Comparaison des transcendantes.
9. Équation de Jacobi. Méthode de Darboux. Extensions de cette méthode.
10. Équation linéaire. Équation de Riccati. Généralisations.
11. Équations non résolues. Emploi de la différentiation. Interprétation géométrique. Solutions singulières.
12. Emploi des transformations de contact. Types intégrables. Classes diverses d'équations du premier ordre.
13. Emploi des coordonnées homogènes. Principe de l'intégration graphique.

Systèmes d'équations du premier ordre.
14. Systèmes de multiplicateurs.
15. Le multiplicateur de Jacobi.
16. Méthodes de Lie. Intégration d'un système qui admet des transformations infinitésimales connues, ou un groupe dont les équations de définition sont connues.
17. Introduction d'un groupe à paramètre associé au système. Invariants. Systèmes invariants. Invariants intégraux.
18. Équations aux variations. Rapprochements entre les théories précédentes.
19. Recherche et usage des intégrales particulières.

Équations d'ordre n.
20. Multiplicateur d'Euler.
21. Cas d'abaissement.
22. Équations qui admettent des groupes de transformations.
23. Équations non résolues. Types intégrables.

Équations linéaires d'ordre n.
24. Notions générales. Systèmes fondamentaux de solutions.
25. Équations à coefficients constants. Méthode de d'Alembert.
26. Équations avec second membre. Variation des constantes.
27. Élimination entre deux équations linéaires. Cas d'abaissement.
28. Équation admettant un système fondamental de solutions donné. Décompositions en facteurs symboliques.
29. Fonctions différentielles rationnelles des solutions. Fonctions invariantes. Transformations.
30. Équations associées. Équations adjointes. Représentations géométriques.
31. Équation linéaire du second ordre.

Systèmes linéaires.
32. Extension des théories précédentes aux systèmes linéaires.

Systèmes à solutions fondamentales.
33. Diverses définitions des systèmes de Lie. Théorie de l'intégration de ces systèmes.
34. Généralisations diverses des systèmes de Lie.
35. Systèmes automorphes.

Classes diverses de systèmes différentiels.
36. Cas où l'intégrale générale dépend algébriquement des constantes arbitraires. Systèmes corrélatifs. Systèmes d'Engel.

Problèmes d'équivalence.
37. Énoncé du problème. Emploi des invariants différentiels.
38. Invariants des équations linéaires.
39. Invariants de diverses classes d'équations.

Théories rationnelles d'intégration.
40. Domaine de rationalité. Irréductibilité.
41. Théorie de Picard et Vessiot pour les équations linéaires.
42. Problèmes qui se rattachent à la théorie précédente: intégration algébrique;réductibilité linéaire; utilisation de relations connues entre les intégrales.
43. Théorie rationnelle d'intégration des systèmes de Lie. Intégration logique de Drach.
44. Théorie de Drach pour les systèmes quelconques d'équations différentielles ordinaires du premier ordre.

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