Ce livre s'adresse aux mathématiciens débutants ; il constitue une introduction à la théorie des nombres, aux problèmes soulevés par cette théorie et aux méthodes utilisées.
Nous avons choisi une méthode d'exposition dans laquelle les problèmes et les techniques d'étude sont étroitement liés. En principe, nous partons de problèmes concrets relatif aux nombres entiers ; les théories générales interviennent alors pour résoudre ces problèmes. En général, ces théories seront suffisamment développées pour en faire saisir la richesse et apprendre à les appliquer.
Les questions étudiées dans ce livre se rattachent principalement à la théorie des équations diophantiennes, i. e. à la théorie de la résolution en nombres entiers des équations à plusieurs inconnues.
On considérera également des questions d'autre nature : par exemple, le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans une progression arithmétique ou les théorèmes sur la variation du nombre de solutions d'une congruence.
Les méthodes qui interviennent ici sont surtout algébriques, principalement la théorie des extensions finies des corps et de leurs métriques. Cependant, on a accordé une place importante aux méthodes analytiques : le chapitre V leur est consacré et la méthode des fonctions analytiques p-adiques est exposée dans le chapitre IV.
A plusieurs reprises interviennent également des considérations géométriques.
Ce livre n'exige pas de grandes connaissances de la part du lecteur. Deux années d'Université suffisent pour comprendre la presque totalité de l'ouvrage ; c'est seulement dans le dernier chapitre qu'interviennent quelques résultats relatifs aux fonctions analytiques.
A la fin du livre, dans un « appendice algébrique » nous avons rappelé des définitions précises, des énoncés et parfois des démonstrations des résultats qui interviennent au cours de l'ouvrage et peuvent ne pas figurer dans certains cours d'algèbre.
Ce livre est tiré d'un cours fait par un des auteurs à l'Université de Moscou.
Z. I. BOREVITCH et I. R. CHAFAREVITCH, Préface