Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

Il paraît bien naturel que Henri Poincaré, mathématicien de génie, ait fait réaliser de grands progrès aux méthodes de la Physique mathématique et à l'étude des équations qu'elle utilise. Mais, en joignant l'intuition physique à la rigueur abstraite, il a su aussi, fait assez rare chez les grands géomètres, faire réaliser de véritables progrès aux théories physiques de son époque en leur apportant des conceptions et des résultats nouveaux. Il a même réussi parfois à apporter une aide efficace aux techniciens.
Comme celles qu'il avait effectuées dans d'autres branches de la Science ou en philosophie scientifique, l'Œuvre de Poincaré en Physique mathématique et théorique restera un monument d'une impérissable grandeur.
Louis de BROGLIE, Préface du tome 9