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ROSSIER, Paul

ROSSIER, Paul


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Référence: 127

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Comme l'arithmétique, la géométrie n'exige pour son élaboration qu'un petit nombre de propositions fondamentales simples. Ces propositions sont les axiomes de la géométrie. Depuis Euclide, l'établissement de ces axiomes et l'étude de leurs relations ont fait l'objet de travaux nombreux et excellents. Ce problème est celui de l'analyse de notre intuition de l'espace.
Le présent travail est un nouvel essai de constituer, pour la géométrie, un système complet d'axiomes aussi simples que possible et d'en déduire les théorèmes les plus importants, de façon à mettre en évidence le rôle des divers groupes d'axiomes et la portée de chacun d'eux.
David HILBERT, Introduction

Notre ouvrage est une étude critique des principes de la géométrie ; l'idée directrice a été de rechercher si la réponse à une question donnée est possible, certains moyens étant imposés à l'avance. Cette idée paraît contenir une règle générale et naturelle ; lors de l'étude d'un problème mathématique ou d'un théorème, notre sens de la connaissance est satisfait dans les cas suivants : nous avons trouvé la solution complète du problème ou une démonstration rigoureuse du théorème ; si nous échouons, la raison de la nécessité de l'échec ou de l'impossibilité de la réussite est bien mise en évidence.
Ainsi, dans les mathématiques modernes, les questions posées par l'impossibilité de certaines solutions ou l'impossibilité de quelques problèmes jouent un rôle de premier plan ; le désir de répondre à une telle question a souvent été l'occasion de découvertes importantes. Citons la démonstration par Abel de l'impossibilité de la solution par radicaux de l'équation de degré cinq, la découverte de l'impossibilité de la démonstration de l'axiome des parallèles, et les théorèmes de Hermite et de Lindemann, de l'impossibilité de construire algébriquement les nombres e et π.
Lors de l'examen de la possibilité d'une démonstration, il faut veiller à la « pureté » des méthodes de démonstration ; l'importance de cette idée a souvent été mise en évidence par les mathématiciens. Ce besoin est au fond une forme subjective de l'idée directrice précédente. Notre travail a consisté en une recherche des axiomes, des conventions ou moyens auxiliaires nécessaires à la démonstration d'une vérité du domaine de la géométrie élémentaire ; dès lors, il ne reste plus qu'à choisir quelle méthode doit être préférée.
David HILBERT, Conclusion

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