ROUCHÉ et COMBEROUSSE (de) : Traité de géométrie, t. I et II, 7e éd., 1900 + POINCARÉ : Note sur ..


ROUCHÉ et COMBEROUSSE (de) : Traité de géométrie, t. I et II, 7e éd., 1900 + POINCARÉ : Note sur ..

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Eugène ROUCHÉ et Charles de COMBEROUSSE

TRAITÉ

DE

GÉOMÉTRIE

7e édition, revue et augmentée

Tome I

Géométrie plane

Tome II

Géométrie dans l'espace

Avec une note de
Henri POINCARÉ

Sur la Géométrie non euclidienne

Paris, Gauthier-Villars
1900

Auteurs :
Eugène ROUCHÉ
Charles de COMBEROUSSE
Henri POINCARÉ

Thème :
MATHÉMATIQUES
Géométrie élémentaire et moderne

Reprint 1997
24,5 x 18 cm, oblong
648 p.
Relié
2 tomes en 1 volume
ISBN : 978-2-87647-136-8

S O M M A I R E

 

T O M E  I
G É O M É T R I E   P L A N E

LIVRE I
LA LIGNE DROITE

1 - Des angles.
2 - Des triangles.
3 - Des perpendiculaires et des obliques.
4 - Droites parallèles.
5 - Somme des angles d'un polygone.
6 - Du parallélogramme.
7 - Figures symétriques.

LIVRE II
LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

1 - Des arcs et des cordes.
2- Tangente au cercle. Positions mutuelles de deux circonférences.
3 - Mesure des angles.
4 - Construction des angles et des triangles.
5 - Tracé des parallèles et des perpendiculaires.
6 - Problèmes sur les tangentes.

Appendice
- De la résolution des problèmes.
- Méthode des substitutions successives. Analyse et synthèse.
- Méthode par intersection de lieux géométriques; exemples; droite de Simson.
- Constructions auxiliaires : translation, renversement, etc.; billard polygonal ; construire un polygone connaissant les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés.
- Polygones égaux et de même sens.
- Déplacement d'une figure dans son plan, centre instantané de rotation. Point où une droite mobile touche son enveloppe.
- Polygones égaux et de sens opposés.

LIVRE III
LES FIGURES SEMBLABLES

1 - Lignes proportionnelles.
2 - Lignes proportionnelles dans le cercle.
3 - Similitude des polygones.
4 - Relations métriques entre les différentes parties d'un triangle.
5 - Problèmes relatifs aux lignes proportionnelles.
6 - Polygones réguliers.
7 - Problèmes sur les polygones réguliers.
8 - Mesure de la circonférence.

Appendice
- Principe des signes. Des segments rectilignes et des angles; formules pour le changement d'origine.
- Théorie des projections; généralisation de la formule fondamentale de la Trigonométrie rectiligne.
- Transversales dans le triangle. Théorèmes de Ménélaüs et de Jean de Céva. Applications ; relations trigonométriques.
- Propriétés du quadrilatère complet.
- Rapport anharmonique de quatre points en ligne droite; il est projectif; son expression trigonométrique.
- Rapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites, de quatre points ou de quatre tangentes d'un cercle.
- Propriétés fondamentales relatives à deux faisceaux qui ont un rayon homologue commun et un rapport anharmonique égal, ou à deux séries rectilignes de quatre points qui ont un rapport anharmonique égal et un point homologue commun.
- Triangles homologiques.
- Hexagones de Pascal et de Brianchon.
- Divisions et faisceaux harmoniques, propriétés et formules fondamentales; moyenne harmonique; polaire par rapport à un angle.
- Pôle et polaire dans le cercle; triangle autopolaire.
- Méthode des polaires réciproques; transformation des propriétés descriptives et des propriétés métriques ; applications aux polygones inscrits et circonscrits.
- Homothétie. Propriétés des figures homothétiques. Centres et axes d'homothétie de trois figures homothétiques deux à deux et, en particulier, de trois cercles.
- Définition générale de la similitude. Pôle double de deux figures semblables.
- Méthode des figures semblables et méthode par renversement; inscrire dans un quadrilatère un quadrilatère semblable à un quadrilatère donné; combinaison de la méthode par rotation avec la construction d'une figure homothétique; problème de la section de raison.
- Puissance d'un point par rapport à un cercle. Axe radical de deux cercles; centre radical de trois cercles; axe radical commun à trois cercles, autres propriétés du quadrilatère complet. Points antihomologues du système de deux cercles, propriétés des systèmes de deux cercles touchés par un troisième.
- Notions sur l'Involution; points doubles, dispositions de la figure suivant que les points doubles existent ou n'existent pas. Condition pour que trois couples de points en ligne droite forment une involution; propriétés involutives du quadrilatère.
- Faisceaux de cercles; points limites d'un faisceau du premier genre; points fondamentaux d'un faisceau du second genre; faisceaux conjugués; nouvelle expression de la puissance d'un point par rapport à un cercle. Cercles orthogonaux; cercles coupés diamétralement.
- Inversion. Propriétés des figures inverses; conservation des angles; figure inverse d'une droite ou d'un cercle ; tout faisceau de cercles du premier genre ou du second genre peut être transformé, par inversion, en un système de cercles concentriques ou en un faisceau de droites; propriétés des cercles inverses de deux cercles tangents; le rapport de la tangente commune à la moyenne géométrique des rayons est le même pour le système de deux cercles et pour la figure inverse.
- Méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. Relation qui lie les longueurs des tangentes communes, lorsqu'un cercle en touche quatre autres.
- Cercles isogonaux.
- Problème d'Appolonius; cercles tangents à trois cercles donnés. Solutions applicables aux divers cas particuliers. Discussion générale. Quelques propriétés des cercles tangents à trois cercles.
- Cercle coupant trois cercles donnés sous des angles donnés; cas particuliers, solution générale.
- Cercle des neufs points ou cercle d'Euler; son contact avec les cercles inscrits et ex-inscrits ou théorème de Feuerbach.
- Inverseurs de Peaucellier et de Hart.
- Problème de Castillon.
- Problème de Malfatti.
- Transformation par semi-droites réciproques. Propriétés des semi-droites et des cycles. Applications de cette méthode employée seule ou combinée avec la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques.

LIVRE IV
LES AIRES

1 - Mesure des aires des polygones.
2 - Comparaison des aires.
3 - Aires du polygone régulier et du cercle.
4 - Problèmes sur les aires.

Appendice
- Évaluation approchée de l'aire d'une figure à contour curviligne. Formule de Simpson. Formule de Poncelet.
- Limite supérieure de la différence entre la longueur d'un arc de cercle et celle de sa corde.
- Maximums et minimums des figures planes. Maximum de l'aire d'un triangle dans lequel on connaît la base et le périmètre, ou les longueurs de deux côtés, ou la somme de deux côtés.
- Entre toutes les figures planes isopérimètres, le cercle est un maximum. Maximum d'une figure composée d'une droite et d'une ligne de forme arbitraire. Maximum d'un polygone de côtés donnés, ou d'un polygone dont on donne le périmètre et le nombre des côtés. Application aux polygones réguliers.

Notes
1 - Mesure des grandeurs.
2 - Sur l'impossibilité de la quadrature du cercle.
3 - Sur la géométrie récente du triangle.
4 - Sur la Géométrographie.

 

T O M E  II
G É O M É T R I E   D A N S   L' E S P A C E

LIVRE V
LE PLAN

1 - Premières notions sur le plan.
2 - Droites et plans parallèles.
3 - Droite et plan perpendiculaires.
4 - Projection d'une droite sur un plan. Angle d'une droite et d'un plan. Plus courte distance de deux droites.
5 - Angles dièdres.
6 - Plans perpendiculaires.
7 - Angles polyèdres.

Appendice
- Quadrilatère gauche coupé par un plan quelconque et, en particulier, par un plan parallèle à deux côtés opposés.
- Rapport anharmonique de quatre plans.
- Propriétés fondamentales de la projection centrale ou perspective. Point de fuite d'une droite. Condition pour que des droites aient leurs perspectives parallèles. Ligne de fuite d'un plan ; conception de la droite de l'infini d'un plan.

LIVRE VI
LES POLYÈDRES

1 - Propriétés générales et aire latérale du prisme.
2 - Volume du prisme.
3 - Propriétés générales et aire latérale de la pyramide.
4 - Volume de la pyramide.
5 - Figures symétriques.
6 - Polyèdres semblables.

Appendice
- Propriétés générales des polyèdres convexes. Théorème d'Euler (S + F = A + 2) et ses conséquences.
- Conditions d'égalité et de similitude de deux polyèdres convexes ; nombre des conditions nécessaires pour déterminer un polyèdre convexe.
- Projection d'une aire plane.
- Centre des distances proportionnelles.
- Centre de gravité : triangle, trapèze, polygone; tétraèdre, polyèdre.
- Aire latérale et volume d'un tronc de prisme quelconque.
- Méthode de démonstration des propriétés projectives.
- Règle pour reconnaître la projectivité de certaines relations métriques; expression trigonométrique du rapport anharmonique d'un faisceau.
-Figures homologiques; leur origine; leur construction; droites limites.
- Propriétés métriques des figures homologiques. Coefficient d'homologie, nouvelle définition.
- Homologie des projections de deux figures planes en perspective, réciproque.

LIVRE VII
LES CORPS RONDS

1 - Cylindre de révolution.
2 - Cône de révolution.
3 - Premières notions sur la sphère.
4 - Propriétés des triangles sphériques.
5 - Aire de la sphère.
6 - Volume de la sphère.
7 - Généralités sur les surfaces.

Appendice
- Théorèmes de Guldin sur l'aire ou le volume engendré par la rotation d'une ligne ou d'une aire plane autour d'un axe situé dans son plan.
- Théorèmes sur le maximum des figures. La sphère a le plus grand volume parmi les corps de même surface.
- Polyèdres réguliers convexes; il n'en existe que cinq; leur construction; sphères inscrite ou circonscrite.
- Calcul du dièdre d'un polyèdre régulier. Calcul des rayons des sphères inscrite ou circonscrite.
- Polygones et polyèdres réguliers d'espèce supérieure. Il n'existe que quatre polyèdres réguliers d'espèce supérieure.
- Trouver l'espèce d'un polyèdre régulier; généralisation de la formule d'Euler. Application aux polyèdres réguliers d'espèce supérieure, leur construction.
- Figures homothétiques dans l'espace. Centres et axes de quatre figures homothétiques deux à deux, et, en particulier, de quatre sphères.
- Similitude dans l'espace.
- Figures homologiques dans l'espace. Plan de l'infini. Principe de la construction des bas-reliefs.
- Pôle et plan polaire par rapport à la sphère. Droites réciproques - Plan radical de deux sphères ; axe radical de trois sphères; centre radical de quatre sphères; propriétés des points anti-homologues.
- Complément de la théorie des figures inverses et de la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques; figure inverse d'un plan, d'une sphère ou d'une circonférence; conservation des angles.
- Projection stéréographique.
- Sphère tangente à quatre sphères données, théorème de Dupuis.
- Sphère tangente à quatre plans donnés, nombre des solutions, calcul des rayons.
- Figures tracées sur la sphère : rapport anharmonique; rapport harmonique; pôle et polaire par rapport à un cercle de la sphère; axe radical; centres de similitude; cercles isogonaux.
- Problèmes relatifs au contact des cercles de la sphère. Cercle coupant trois cercles donnés sous des angles donnés, et problème analogue de Géométrie plane. Sphère coupant quatre sphères données sous des angles donnés.

LIVRE VIII
LES COURBES ET LES SURFACES USUELLES

1 - Propriétés fondamentales de l'ellipse.
2 - Propriétés fondamentales de l'hyperbole.
3 - Propriétés fondamentales de la parabole.
4 - Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle.
5 - Parabole considérée comme limite de l'ellipse.
6 - Origine commune des trois courbes. Sections planes du cône de révolution.
7 - Propriétés fondamentales de l'hélice.

Appendice
- Homographie et involution.
- Courbes du second ordre.
- Théorie des surfaces du second ordre.
- Étude de quelques surfaces d'ordre supérieur.

Notes
1 - Sur l'application des déterminants à la Géométrie.

2 - Henri POINCARÉ : Sur la Géométrie non euclidienne.
3 - Sur les transformations linéaires et quadratiques, les coniques associées à un triangle et les systèmes de trois figures directement semblables.
4 - Sur la Géométrie récente du tétraèdre.

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