MANDEL : Cours de Mécanique des milieux continus, t. I et II, 1966

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Jean MANDEL

COURS DE MÉCANIQUE

DES MILIEUX CONTINUS

Tome I
Généralités
Mécanique des fluides

[suivi de :]

Tome II
Mécanique des solides

Paris, Gauthier-Villars
1966

Auteur :
Jean MANDEL

Cours de l'École Polytechnique

Thème :
MÉCANIQUE
Mécanique des solides et des fluides

Reprint 1994
24,5 x 18 cm, oblong
440 p.
Broché
2 tomes en 1 vol.
ISBN : 978-2-87647-157-3


S O M M A I R E

Tome I

I - GÉNÉRALITÉS SUR LES MILIEUX CONTINUS DÉFORMABLES

1 - L'hypothèse de continuité. Rappels de notions sur les tenseurs.
Hypothèse de continuité.

Continuité du milieu.
Continuité des transformations.
Phénomènes ne respectant pas la continuité des transformations.

Rappel et complément de notions sur les tenseurs du second ordre.
Définitions implicites.
Produit, transposition ; tenseurs symétriques.
Affinité, tenseurs inverses.
Décomposition sous la forme du produit d'un tenseur symétrique par un tenseur orthogonal.
Notations pour les coordonnées d'un tenseur symétrique.
Gradient d'un vecteur, divergences et rotationnels d'un tenseur.
Tenseur symétrique formé à l'aide des dérivées d'une fonction scalaire d'un tenseur.

2 - Géométrie des milieux continus déformables.
Transformation finie.

Affinité tangente.
Décomposition de l'affinité tangente.
Exemple (glissement).
Étude de la déformation pure.
Exemple (distorsion simple).
Dilatations des éléments linéaires. Tenseur de déformation.
Ellipsoïde des dilatations.
Variation de l'angle de 2 éléments linéaires.

Transformation infiniment petite.
Décomposition de la transformation.
Étude de la déformation.
Mesure des déformations.

Conditions de compatibilité des déformations.
Cas d'une plaque plane.
Cas d'un milieu à 3 dimensions.
Cas d'un domaine à connexion linéaire multiple.
Exemple.

3 - Cinématique d'un milieu déformable.
Variables de Lagrange et variables d'Euler.
Trajectoires et lignes de courant.
Transformation infiniment petite à partir de l'état actuel.
Dérivée en variables d'Euler d'une intégrale étendue à un volume matériel.
Équation de continuité.
Application au fluide incompressible.

4 - Dynamique des milieux déformables. Contraintes. Théorème d'Euler.
Contraintes.

Définition.
Relations fournies par la Mécanique rationnelle entre les contraintes.
Distribution des contraintes autour d'un point P en fonction de l'orientation des facettes.
Exemples : tenseur simple, tenseur double.
Réciprocité des contraintes.

Théorème d'Euler.
Signification et Démonstration.
Exemples (action d'un liquide sur un coude d'une canalisation, poussée d'un jet sur un plan).
Tenseur d'impulsion.

5 - Travail de déformation. Théorème des travaux virtuels.
Travail de déformation pour un élément d'un milieu déformable.
Démonstration élémentaire de l'expression du travail de déformation.
Exemples : fluide parfait, fil parfaitement flexible.
Théorème des travaux virtuels pour un milieu continu déformable.
Théorème de l'énergie cinétique.

6 - Thermodynamique des milieux déformables. Équations de comportement.
Lois physiques gouvernant l'équilibre et le mouvement d'un milieu continu.
Notion d'état thermodynamique.
Rappel des principes de la thermodynamique.
Conditions imposées par les 2 principes aux coefficients élastiques et calorifiques.
Interprétation thermodynamique du travail de déformation.
Potentiel interne d'un élément.
Énergie potentielle élastique.
Expressions locales des 2 principes et équation thermique.
Équations de conservation et équations de comportement.
Stabilité d'un équilibre.
Tableau des unités de la mécanique.

7 - Surfaces de discontinuité.
Vitesse de déplacement et célérités diverses.
Conditions cinématiques de compatibilité.
Expressions des lois de conservation pour une discontinuité de 2e ordre.
Expressions des lois de conservation dans le cas d'une discontinuité de vitesse.
Exercice proposé.

II - MÉCANIQUE DES FLUIDES

1 - Équilibre des fluides.
Équations de l'équilibre.
Surfaces de niveau.
Équilibre isotherme.
Action d'un fluide en équilibre sur une surface fermée. Principe d'Archimède.
Équilibre des corps flottants.
Stabilité de l'équilibre.

2 - Mouvement des fluides parfaits. Propriétés générales.
Équations du mouvement en variables d'Euler. -
Élimination de la température.
Transformation des équations du mouvement d'Euler.
Équations en variables de Lagrange.
Emploi de coordonnées curvilignes.
Conditions initiales et conditions au contour.
Réversibilité du mouvement.
Conservation de la circulation le long d'une courbe fermée fluide.
Théorème de Lagrange.
Mouvements irrotationnels.
Lignes et surfaces tourbillons.
Tubes tourbillons.
Mouvements permanents. Théorème de Bernoulli.
Le théorème de Bernoulli déduit du théorème de l'énergie cinétique.
Application à un liquide pesant.
Le théorème de Bernoulli dans un mouvement relatif.
Application aux turbines hydrauliques.
Le théorème de Bernoulli et le principe de conservation de l'énergie.
Application aux gaz et vapeurs.
Mesure des pressions et des vitesses.

3 - Mouvements irrotationnels (fluide incompressible parfait).
Généralités.

Incompressibilité : domaine de validité pour un gaz.
Mouvements irrotationnels.
Paradoxe de d'Alembert.

Mouvements irrotationnels plans.
Potentiel et vitesse complexe.
Exemples : courant uniforme, source, tourbillon, etc.
Construction graphique d'un réseau d'équipotentielles et de lignes de courant.
Méthode d'analogie électrique.
Théorème de Blasius.
Théorème de Kutta-Joukowski.
Écoulement autour d'un cylindre circulaire.
Utilisation de la représentation conforme.
Application à l'écoulement autour d'un profil plongé dans un courant uniforme à l'infini.
Cas d'un profil présentant une pointe. Hypothèse de Kutta-Joukowski.
Images hydrodynamiques.

Mouvements irrotationnels dans l'espace.
Source et doublet.
Tourbillon.
Mouvements méridiens.
Construction graphique d'un réseau d'équipotentielles et de lignes de courant.
Méthode d'analogie rhéoélectrique.
Écoulement autour d'une sphère placée dans un courant uniforme à l'infini.

4 - Mouvements tourbillonnaires (fluide incompressible).
Formation des tourbillons.
Détermination des vitesses à partir des tourbillons.
Mouvement parallèle à un plan.
Équivalence entre une surface de discontinuité des vitesses et une nappe de tourbillons.
Tourbillons liés.
Actions hydrodynamiques d'un fluide infini sur un solide, lorsque l'écoulement du fluide par rapport au solide est permanent, sans sillage et uniforme à l'infini.
Cylindre immobile dans un courant uniforme à l'infini. Indications expérimentales.
Établissement de la circulation autour d'un obstacle dans le cas d'un écoulement plan.
Aile d'envergure finie.

5 - Petits mouvements des fluides. Ondes.
Ondes dans les fluides.
Équations des petits mouvements.
Décomposition d'un petit mouvement.
Ondes de compressibilité.
Valeur de la célérité du son.
Ondes de gravité.
Houle sinusoïdale.
Ondes dans un canal ou un bassin peu profond. Onde solitaire.
Houle trochoïdale.

6 - Dynamique des gaz. Ondes de discontinuité dans le cas des perturbations finies.
Introduction. - L'équation d'Hugoniot.
Ondes planes. Mouvement d'un gaz dans un tuyau cylindrique.
Ondes de détente et ondes de compression. Phénomène de Riemann-Hugoniot.
Cas d'un départ avec choc.
Considérations physiques sur l'onde de choc.
Onde de choc plane.
Application au freinage des trains.
Ondes d'accélération de forme quelconque.
Ondes de choc de forme quelconque.
Ondes produites par les projectiles. - Photographie des ondes.

7 - Mouvements permanents d'un fluide compressible.
Écoulements subsoniques et supersoniques. Vitesse limite. Vitesse critique.
Mouvements irrotationnels. Équation de Steichen.
Comparaison entre les écoulements subsoniques et supersoniques.
Écoulement permanent d'un gaz dans une tuyère droite.
Débit d'une tuyère convergente.
Mouvements irrotationnels plans.
Mouvements supersoniques.
Étude des caractéristiques. -
Écoulement par ondes simples. -
Écoulement supersonique le long d'un profil courbe.
Écoulement le long d'un dièdre.
Construction graphique d'un réseau de caractéristiques.
Cas des mouvements subsoniques.

8 - Fluides visqueux. Turbulence. Hydraulique.
Notion de viscosité.
Relations entre les contraintes et les vitesses de déformation.
Travail de déformation. -
Équations de Navier et Poisson.
Applications. Écoulement permanent d'un liquide visqueux dans un tube fin (Poiseuille).
Mouvements turbulents.
Écoulement turbulent d'un fluide incompressible dans un tube. Perte de charge.
Couche limite au contact d'une plaque plane.
Notions d'hydraulique.

9 - Similitude mécanique.
Homogénéité en Mécanique des milieux continus.
Similitude.
Conditions de similitude.
Servitudes.
Fluides incompressibles.
Similitude partielle.
Similitude approchée.
Fluides compressibles.
Application aux coefficients de portance et de résistance.

ANNEXES

1 - Compléments sur les déformations d'un milieu continu.
Divers tenseurs de déformation. Conditions de compatibilité.

2 - Complément à l'étude des contraintes.
Cercle de Mohr. Cercle des dilatations. Courbes intrinsèques.
Divers tenseurs de contraintes (Boussinesq, Kirchhoff).
Distribution des contraintes lorsqu'il existe des couples de masse.

3 - Coordonnées curvilignes orthogonales.
Coordonnées cylindriques. Cas général. Coordonnées sphériques.

4 - Conditions imposées aux lois de comportement.
Conditions thermodynamiques. Conditions d'invariance par changement d'axes. Fonction isotrope de matrices. Vitesse d'un tenseur par rapport à la matière.

5 - Compléments d'hydrostatique.
Nivellement barométrique. Action d'un liquide pesant sur une surface plane immergée.

6 - Compléments sur les mouvements irrotationnels à trois dimensions.
Solides de Rankine. Développement des potentiels dans les mouvements irrotationnels.
Démonstration générale du paradoxe de d'Alembert.

7 - Représentation conforme en hydrodynamique.
Représentation d'un domaine sur un cercle. Application aux profils d'ailes.
Transformation hodographe. Sillages d'Helmholtz. Lignes de jets.

8 - Compléments sur les mouvements tourbillonnaires.
Formule de Poincaré. Potentiel des vitesses induites par un filet tourbillon fermé. Calcul de la résistance pour une aile d'envergure finie.

9 - Compléments sur les ondes dans les fluides.
Petits mouvements des fluides compressibles. État d'équilibre quasi-homogène. Ondes planes. Ondes sphériques. Propagation de l'énergie.
Houle trochoïdale.
Absence d'ondes de discontinuité dans un fluide visqueux.

10 - Compléments sur les mouvements permanents d'un fluide compressible.
Écoulement dans une tuyère convergente-divergente. Étude des caractéristiques dans le plan de l'hodographe dans le cas du mouvement supersonique plan d'un gaz polytropique.
Écoulements subsoniques plans. Transformation de Molenbrock-Tchapligyn. Approximation de Tchapligyn. Exemple.

11 - Mouvement des liquides visqueux (compléments).
Diffusion des tourbillons dans un liquide visqueux. Écoulement permanent lent autour d'une sphère placée dans un courant uniforme. Écoulement permanent lent entre deux plaques planes parallèles. Expériences de Hele-Shaw. Couche limite le long d'une plaque plane.

12 - Compléments d'hydraulique.
Coefficient de contraction d'un ajutage. Action d'une veine fluide sur une paroi cylindrique.

13 - Magnétodynamique des fluides.
Équations de l'Électromagnétisme. Équations de la Mécanique des fluides. Problèmes unidimensionnels. Cas d'un fluide parfaitement conducteur. Ondes de discontinuité ordinaires.

Tome II

III - MÉCANIQUE DES SOLIDES . THÉORIE DE L'ÉLASTICITÉ

1- Généralités sur les déformations des solides.
Introduction.

Élasticité. Loi de Hooke. Plasticité. Viscosité.
Influence de la température.
Potentiel élastique isotherme.
Caractère infiniment petit des déformations. Cas des déplacements.
Détermination des contraintes (son principe). État initial. État naturel.
Critère de résistance.

2 - Équilibre élastique lorsque l'état initial est naturel.
Relations entre les contraintes et les déformations.
Exemples.
Expression de la densité d'énergie potentielle élastique.
Signes des coefficients d'élasticité. -
Équations de l'équilibre élastique isotherme.
Principe de superposition.
Exemples d'exceptions.
Unicité de la solution.
Existence de la solution.

Extensions diverses.
Contraintes d'origine thermique.
État initial contraint.
Relations entre les contraintes et les déformations.
Équations de l'équilibre élastique isotherme.

3 - Solide élastique homogène isotrope.
Méthode de Lamé et Clapeyron. Calcul des déplacements.
Équations de la dilatation, de la rotation, des déformations.
Méthode des conditions de compatibilité. Calcul direct des contraintes.

4 - Solutions particulières.
Principe de De Saint-Venant.
Équilibre homogène.
Sphère creuse soumise à l'intérieur et à l'extérieur à des pressions normales uniformes différentes.
Condition de résistance de la sphère creuse.
Cylindre circulaire creux soumis à l'intérieur et à l'extérieur à des pressions normales uniformes.
Condition de résistance.
Flexion circulaire d'un cylindre.
Étude sommaire de la déformation du solide.
Axe neutre. Flexion normale.
Torsion d'un cylindre.
Calcul direct des contraintes à l'aide des équations de Beltrami.
Analogie de la membrane.
Autres analogies.
État de contraintes. Condition de résistance.

5 - Élasticité plane.
Définition des deux problèmes d'élasticité plane.
Déformation plane.
Contrainte plane.
Photoélasticimétrie.
Exemples de solutions de problèmes d'élasticité plane.

6 - Notions de Résistance des matériaux.
Effort résultant sur la section droite d'une poutre.
Le problème de De Saint-Venant.
Déformations et contraintes dans les poutres. Approximations de la Résistance des matériaux.
Déformation de la ligne moyenne d'une poutre droite régulière fléchie.
Systèmes hyperstatiques.
Flambage.

7 - Petits mouvements des solides élastiques. Similitude.
Entropie d'un solide élastique isotrope. Coefficients d'élasticité adiabatiques.
Petits mouvements d'un corps élastique homogène isotrope.
Décomposition d'un petit mouvement.
Exemple : Ondes planes.
Propagation des discontinuités.
Réflexion des ondes.
Vibrations longitudinales d'une tige.
Décomposition du mouvement en vibrations stationnaires.
Unicité en Élastodynamique.
Similitude en Élasticité.

ANNEXES

14 - Théorie générale de l'élasticité.
Forme des équations de comportement : Cas général. Cas d'un élément isotrope. Conditions résultant de l'existence d'un potentiel. Cas de l'incompressibilité. Élasticité linéaire et élasticité du 2e rdre. - Problèmes d'élasticité finie et d'élasticité du 2e ordre : Traction ou compression sur un cylindre. Glissement simple. Traction et torsion sur un cylindre circulaire. Problèmes d'élasticité du 2e ordre.
Transformation infiniment petite à partir d'un état initial contraint.

15 - Compléments d'élasticité à trois dimensions.
Frettage. Calcul complet des déplacements dans le problème de la flexion circulaire. Force concentrée en un point d'un massif élastique infini. Force concentrée à la limite d'un semi-espace élastique.

16 - Compléments d'élasticité plane.
Solutions particulières en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires.
Forme générale des solutions : Expression des contraintes, fonction d'Airy. Expression des déplacements. - Utilisation de la variable complexe. Solution à partir des données au contour en représentation complexe. Méthode de Muskhelishvili.

17 - Problème de De Saint-Venant.
Détermination des contraintes. Rotation relative de deux sections droites. Les quatre cas particuliers du problème. Flexion complexe ou avec effort tranchant. Centre de cisaillement. Calcul des déplacements.

18 - Compléments sur la théorie du travail virtuel en Élasticité.
Théorème de réciprocité. Minimum de l'énergie potentielle. Minimum de l'énergie complémentaire. Méthode de Ritz. Exemple : Calcul de l'inertie de torsion d'un cylindre.

19 - Compléments sur les petits mouvements des solides élastiques.
Thermoélasticité : Théorème de Poisson généralisé. Mouvement irrotationnel. Ondes planes sinusoïdales. Étude de la propagation des ondes au moyen des conditions de compatibilité. Cas d'un milieu anisotrope. Vibrations transversales d'une tige. Vibrations de torsion d'une tige.
Ondes pénétrantes et ondes superficielles. Ondes de Rayleigh. Réflexion et réfraction des ondes élastiques. Étude des petits mouvements à l'aide des oscillations principales. Tenseur d'influence. Équation intégrale des vibrations. Étude du noyau. Vibrations naturelles. Vibrations forcées. Exemples : corde vibrante, vibrations d'une tige, d'une sphère élastique. Principe d'Hamilton et théorème de Lord Rayleigh.

20 - Plasticité.
Bases expérimentales de la théorie.

Données expérimentales pour le cas d'une déformation à un paramètre. Origine de la déformation plastique. Influence de la viscosité. Écrouissage.
Critère d'écoulement et fonction de charge.
Lois de la déformation plastique.
Principe du travail maximal.
Potentiel plastique. Cas de l'isotropie. Vérification expérimentale des relations de von Misès.
Travail dissipé dans la déformation plastique.
Relations de Prandtl-Reuss.
Chargement simple ou radial. Tube mince soumis à une force de traction et un couple de torsion.

Théorie mathématique de la Plasticité. Cas général.
Traction simple sur un cylindre.
Enveloppe sphérique épaisse soumise à une pression intérieure normale uniforme.
Cas des déformations finies.
Cas de l'écrouissage.
Flexion circulaire.
Théorèmes généraux.
Inégalité fondamentale.
Théorème d'unicité de Melan.
Principe de minimum pour les vitesses de contraintes.
Principe de minimum pour les vitesses de déformation.

Cas du milieu rigide plastique.
Position du problème.
Équilibres limites plans.
Théorèmes généraux.
Unicité du champ des contraintes.
Définition des champs licites.
Principe de minimum pour les contraintes.
Principe de minimum pour les vitesses de déformation.

Théorie des charges limites.
Notion de frontière d'écoulement. Procédé statique de détermination des charges limites. Procédé cinématique.
Exemples d'application : Force limite de poinçonnement. Frontière d'écoulement d'une barre soumise à un couple de torsion et un couple de flexion.

21 - Viscoélasticité.
Bases physiques.

Généralités.
Déformation différée.
Relaxation.
Recouvrance.
Hystérésis de viscosité.
Modèles rhéologiques.
Hérédité.

Viscoélasticité linéaire. Système définis par un nombre fini de paramètres.
Linéarité.
Fonction de retard.
Cas où les propriétés du corps ne varient pas au cours du temps.
Fonction de relaxation.
Utilisation de la transformation de Laplace.
Corps définis par une équation différentielle.
Module complexe.
Matrice module opérationnel.
Considérations thermodynamiques.
Représentation spectrale de la matrice de retard.
Représentation spectrale de la matrice de relaxation.
Conséquences.
Énergie potentielle et travail dissipé.
Problèmes dynamiques. Impédance opérationnelle.
Mouvements naturels.
Vibrations forcées sinusoïdales.
Exemple.

Milieu viscoélastique continu.
Équations de comportement.
Cas d'un élément isotrope.
Exemples.
Problèmes quasi-statiques.
Exemples.
Problèmes dynamiques. Ondes.
Vibrations naturelles et vibrations forcées.
Exemple.
Énergie dissipée dans les vibrations forcées. Frottement intérieur.
Théorèmes généraux : Théorème de réciprocité, principes variationnels, unicité.

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