Après une brève préface qui évoque la situation de la pensée mathématique au début de ce siècle, un premier chapitre retrace à grands traits l'histoire de la science des fondements et donne une analyse détaillée de la notion de système formel.
Le Chapitre II prépare l'exposé du théorème de Gödel en expliquant comment se présente l'étude des propriétés d'un système formel et en décrivant les deux instruments de démonstration qui sont à la base du théorème : les paradoxes et les fonctions récursives.
Le Chapitre III est consacré entièrement au théorème de Gödel ; après en avoir donné une idée sommaire, il décrit de façon précise les hypothèses sur lesquelles il s'appuie, puis le mécanisme de sa démonstration ; il discute ensuite les critiques qui ont été formulées à l'égard de cette démonstration.
Le Chapitre IV indique plusieurs variantes du théorème de Gödel, obtenue sous des hypothèses plus simples ou plus générales par Kalmar, Kleene et Rosser.
Le Chapitre V décrit les répercussions qu'a exercée le théorème de Gödel sur la théorie de la démonstration (qui a pour objet de démontrer le caractère non-contradictoire des différentes théories mathématiques). Il donne une esquisse de la méthode utilisée par Gentzen pour établir la non-contradiction de l'arithmétique.
Le Chapitre VI se rapporte à des théorèmes de limitation d'une autre espèce : il s'agit du théorème de Church et des théorèmes apparentés relatifs au problème de la décision.
Le théorème de Gödel et celui de Church ont été retrouvés par Kleene sous forme de corollaire d'un théorème plus général qui porte sur la forme des prédicats dans un système formel. C'est ce théorème de Kleene et ses conséquences qui se trouvent exposés dans le Chapitre VII.
Le Chapitre vIII développe une autre méthode de généralisation du théorème de Gödel : la méthode axiomatique. Il décrit les formes généralisées données grâce à cette méthode au théorème de Gödel par Tarski et Mostowski.
Le Chapitre IX donne un aperçu d'autres faits de limitation. Il comporte en particulier l'évocation du théorème de Löwenheim-Skolem et de certains résultats relatifs à la théorie des modèles.
Le Chapitre X enfin abandonne le domaine du formalisme pour aborder celui de la critique philosophique et développe certaines remarques suggérées par les faits décrits dans les chapitres précédents.
Jean LADRIÉRE, Avant-Propos