A reparaître

TOME I
Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'améliorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les modifications les plus importantes.
En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte, nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle totale et adopté celle de Stolz. La supériorité de cette définition a été mise en lumière par les travaux de MM. S. Pierpont, Fréchet, et surtout W. H. Young. Elle est indiscutable : les théorèmes découlant plus directement des principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfaisante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstrations relatives aux applications géométriques en introduisant les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à mesure de leur nécessité seulement.
Passons maintenant aux théories plus élevées données dans le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précédemment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précédemment pour remonter de la dérivée à la primitive. Plusieurs années d'expérience et nos recherches personnelles nous ont suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux, l'un consacré au problème du changement de variable dans une intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution définitive, l'autre consacré à la recherche de la primitive d'une dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la théorie des séries de Fourier.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Avertissement

TOME II
Dans cette seconde édition, toute la rédaction du tome II a subi des modifications plus ou moins profondes, mais la plus importante provient de l'introduction des intégrales multiples de M. Lebesgue. Nous avons exposé cette théorie en nous guidant sur les Mémoires fondamentaux de l'auteur et nous avons été amené à traiter une question nouvelle qui en fournit d'intéressantes applications, celle des développements de fonctions en séries de polynomes. En outre, la théorie des séries trigonométriques, qui doit encore à M. Lebesgue ses plus importants progrès, a été complètement refondue et mise au niveau des connaissances actuelles.
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface