Dès 1900, dans un mémoire devenu célèbre intitulé Méthodes de calcul différentiel absolu, Ricci et Levi-Civita donnaient le premier exposé systématique relatif à ce qu'on a appelé le Calcul tensoriel qui, à cette époque, attirait l'attention  des mathématiciens et des physiciens sur un certain nombre des applications possibles. Depuis lors un long chemin a été parcouru. L'apparition de la théorie de la Relativité, qui n'a été possible que grâce à l'existence préalable du Calcul tensoriel, a été par contre-coup le moteur de son développement et de son épanouissement en ce que nous nommons la géométrie différentielle. Ce calcul est aussi devenu l'un des instruments essentiels de la physique contemporaine, comme le montre le développement récent des théories de jauge. Son emploi en mécanique, théorie des milieux continus, théorie des réseaux électriques, etc., a contribué à en faire un élément nécessaire à la formation de tout ingénieur de bon niveau. On peut dire que désormais le Calcul tensoriel fait partie de toute culture générale mathématique, physique ou technique. C'est pour permettre une intelligence vraie de ses ressorts et une initiation aisée à son emploi que ce petit livre, d'un niveau volontairement élémentaire, a été écrit.

Il se trouve divisé en deux parties : l'une relative à l'Algèbre et à l'Analyse tensorielles, l'autre à certaines des applications les plus importantes. Dans la première partie, l'Algèbre tensorielle comporte quelques pages consacrées à l'Algèbre extérieure, dont les méthodes méritent d'être encore mieux connues de tous les physiciens et ingénieurs. Par contre, les notions de densité et de capacité tensorielle, dont l'intérêt mathématique reste faible n'ont pas été introduites. La notion de tenseur adjoint d'un tenseur antisymétrique permet d'ailleurs de les éviter dans les cas les plus fréquents.
En ce qui concerne l'Analyse tensorielle, je me suis volontairement borné à l'Analyse des champs de tenseurs dans un espace de Riemann, la géométrie riemannienne étant historiquement la première des géométries généralisées et celle qui présente le plus d'intérêt au point de vue des applications. J'ai systématiquement adopté la « méthode du repère mobile » d'Élie Cartan ; cette méthode, qui est la plus géométrique et intuitive, présente en outre l'avantage de permettre au lecteur d'aborder sans dépaysement l'étude d'autres géométries généralisées et la notion générale de connexion.
Dans la partie relative aux applications, j'ai été contraint de choisir. Un premier chapitre est destiné à montrer combien la géométrie riemannienne devient intuitive dès qu'on la rapproche de la dynamique analytique classique. On y trouvera en outre une introduction à l'étude des milieux continus et de l'élasticité, indispensables à l'intelligence même de la Relativité générale. Le lecteur qui désirerait approfondir ce domaine pourra se reporter à l'ouvrage de pionnier de Léon Brillouin, Les tenseurs en mécanique et en élasticité, 1938.
Les deux autres chapitres sont consacrés l'un à l'étude des équations de Maxwell de l'électromagnétisme et à la Relativité dite restreinte, l'autre à la Théorie relativiste de la gravitation. En ce qui concerne cette dernière, dont je n'ai pu ici qu'esquisser les principes, le lecteur pourra faire appel à l'ouvrage de Georges Darmois, Les équations de la gravitation einsteinienne, 1927, où toutes les idées essentielles développées par la suite sont présentes, ou à mon ouvrage Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, 1954.
André LICHNEROWICZ, Préface

C'est à Georges Bruhat que remonte l'idée première de ce livre. Il avait été frappé par le fait qu'il n'existait dans la littérature scientifique française aucun ouvrage de Physique Mathématique analogue aux traités classiques de Courant et Hilbert ou de Frank et Misès et il pensait aussi que ces traités n'étaient pas construits de manière à être pleinement accessibles aux physiciens théoriciens ou expérimentateurs. C'est alors qu'il me demanda s'il me serait possible de rédiger un ouvrage d'un niveau relativement élémentaire permettant aux physiciens de s'initier aux grandes techniques mathématiques de la physique moderne.
Le présent volume a été conçu pour répondre au moins partiellement à ce but. Il diffère de ce qui existait antérieurement dans la littérature étrangère sur deux points essentiels. D'une part son niveau est élémentaire : à l'exception de quelques paragraphes, il peut être lu par un lecteur ayant des connaissances solides relativement au programme des classes de Mathématiques spéciales ou des cours de Mathématiques générales. D'autre part il s'efforce de familiariser le lecteur aussi bien avec l'algèbre des opérateurs linéaires et des matrices qu'avec l'algèbre tensorielle si utile pour la pleine compréhension de tant de théories physiques.
Il est peut-être inutile de faire observer qu'il n'est point de Mathématiques « sans larmes » à l'usage exclusif des physiciens et que, si je me suis efforcé de choisir et coordonner celles des théories mathématiques qui peuvent être utiles aux physiciens, il m'était impossible de renoncer dans leur exposé à cette rigueur sans laquelle il n'est plus de science ni mathématique ni physique.
André LICHNEROWICZ, Avant-Propos