POLYA : Les Mathématiques et le raisonnement "plausible", 1958

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George POLYA

LES

MATHÉMATIQUES

ET LE RAISONNEMENT

" PLAUSIBLE "

Présenté et préfacé par Louis Couffignal
Traduit de l'anglais par Robert Vallée

Paris, Gauthier-Villars
1958

Auteur :
George POLYA

Préface :
Louis COUFFIGNAL

Traduction :
Robert VALLÉE

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Raisonnement. Méthodes. Invention
Problèmes

Reprint 2008
17 x 24 cm
322 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-294-5


S O M M A I R E

I - L'INDUCTION ET L'ANALOGIE EN MATHÉMATIQUES        
L'induction.

- Expérience et opinion.
- Points de contact suggestifs.
- Points de contact apportant une confirmation.
- L'attitude inductive.

Généralisation, particularisation et analogie.
- Généralisation, particularisation, analogie et induction.
- Généraliser.
- Particulariser.
- L'analogie.
- Généralisation, particularisation et analogie.
- La découverte par analogie.
- L'analogie et l'induction.

L'induction en géométrie dans l'espace.
- Les polyèdres.
- Premières vérifications.
- Nouvelles vérifications.
- Une dure épreuve.
- Il y a vérification et vérification.
- Examen d'un cas très différent.
- Analogie.
- Le partage de l'espace.
- Modification du problème.
- Généralisation, particularisation et analogie.
- Un problème analogue.
- Famille de problèmes analogues.
- Plusieurs problèmes peuvent être plus faciles à résoudre qu'un seul.
- Une hypothèse.
- Prévision et vérification.
- Mieux encore.
- L'induction suggère la déduction, le cas particulier suggère la démonstration.
- Autres hypothèses.

L'induction en théorie des nombres.
- Triangles rectangles en nombres entiers.
- Sommes de carrés.
- De la somme de quatre carrés impairs.
- Examen d'un exemple.
- Représentation des observations par un tableau.
- Recherche d'une règle.
- De la nature de la découverte inductive.
- De la nature de la "preuve" inductive.

Quelques exemples d'induction.
- Développements en série.
- Approximations.
- Limites.
- Prouver que la proposition est fausse.
- Prouver que la proposition est vraie.
- Rôle de la phase inductive.

Passage à un énoncé plus général.
- Euler.
- Le mémoire d'Euler.
- Passage à un point de vue plus général.
- Ossature logique du mémoire d'Euler.

Le raisonnement par récurrence.
- Phase inductive.
- Phase démonstrative.
- Passage d'un cas à un autre.
- Technique du raisonnement par récurrence.

Maxima et minima.
- Schèmes.
- Exemple.
- Schème de la ligne de niveau tangente.
- Exemples.
- Schème des variations partielles.
- Le théorème des moyennes arithmétique et géométrique et ses premières conséquences.

La physique mathématique.
- Une interprétation optique.
- Une interprétation mécanique.
- Solution par interprétation analogique.
- Découverte de la courbe brachistochrone par Jean Bernoulli.
- La découverte du calcul intégral par Archimède.

Le problème des isopérimètres.
- Les arguments inductifs de Descartes.
- Arguments implicites.
- Arguments physiques.
- Arguments inductifs de Lord Rayleigh.
- Déduction de conséquences.
- Vérification de conséquences.
- Le but est proche.
- Trois formes du théorème des isopérimètres.
- Applications et problèmes nouveaux.

Autres types d'arguments plausibles.
- Hypothèses de types divers.
- Jugement tiré de la considération d'un cas voisin.
- Jugement tiré de la considération du cas général.
- Doit-on préférer l'hypothèse la plus simple ?
- Rôle du "milieu".
- Une source inépuisable.
- Hypothèses intuitives usuelles.

II - SCHÈMES D'INFÉRENCE PLAUSIBLE            
Quelques schèmes remarquables.

- Vérification d'une conséquence.
- Vérifications successives.
- Vérification d'une conséquence improbable.
- Inférence par analogie.
- Amélioration de l'analogie.
- Inférence analogique atténuée.

Nouveaux schèmes et premières relations.
- Examen d'une conséquence.
- Examen d'une base de démonstration possible.
- Examen d'hypothèses contradictoires.
- Termes empruntés à la logique.
- Liens logiques entre les schèmes d'inférence plausible.
- Inférence atténuée.
- Un tableau.
- Combinaison des schèmes simples.
- De l'inférence par analogie.
- Inférence qualifiée.
- Vérifications successives.
- Hypothèses concurrentes.
- La preuve en matière juridique.

Le hasard, hypothèse concurrente toujours présente.
- Phénomènes collectifs aléatoires.
- Le concept de probabilité.
- Avec un sac et des boules.
- Le calcul des probabilités. Hypothèses statistiques.
- Prévision directe des fréquences.
- Explication de certains phénomènes.
- Jugement porté sur des hypothèses statistiques.
- Choix entre des hypothèses statistiques.
- Jugement porté sur des hypothèses non statistiques.
- Jugement porté sur des hypothèses mathématiques.

Le calcul des probabilités et la logique du raisonnement plausible.
- Y a-t-il des règles de raisonnement plausible ?
- Un aspect du raisonnement démonstratif.
- Un aspect correspondant du raisonnement plausible.
- Un aspect du calcul des probabilités. Difficultés.
- Un aspect du calcul des probabilités. Une tentative.
- Examen d'une conséquence.
- Examen d'une base possible.
- Examen d'une hypothèse incompatible avec l'hypothèse donnée.
- Examen de plusieurs conséquences successives.
- Arguments tirés d'indices.

Le raisonnement plausible dans l'invention et l'enseignement.
- Objet du présent chapitre.
- Histoire d'une petite découverte.
- Marche de la solution.
- Deus ex machina.
- Justification heuristique.
- Histoire d'une autre découverte.
- Quelques arguments typiques.
- L'induction et l'invention.
- Remarques concernant l'enseignement.
- Aux lecteurs français.

NOTES COMPLÉMENTAIRES
- Le logicien, le mathématicien, le physicien et l'ingénieur.
- Grandes analogies.
- Quelques citations.
- Il n'y a pas d'idée vraiment mauvaise.
- Conclusion inductive faisant suite à des efforts infructueux.
- Essais de généralisation.
- Règles fondamentales du calcul des probabilités.
- Vraisemblance et plausibilité.

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