COURS DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS

Édouard GOURSAT

COURS D'ANALYSE MATHÉMATIQUE

Tome I
Dérivées et différentielles
Intégrales définies
Développements en séries
Applications géométriques
Quatrième édition
Paris, Gauthier-Villars
1924

Tome II
Théorie des fonctions analytiques
Équations différentielles
Équations aux dérivées partielles du premier ordre
Quatrième édition
Paris, Gauthier-Villars
1925

Tome III
Intégrales infiniment voisines
Équations aux dérivées partielles du second ordre
Équations intégrales
Calcul des variations
Troisième édition
Paris, Gauthier-Villars
1923

Auteur :
Édouard GOURSAT

Cours de la Sorbonne

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Analyse
Géométrie analytique et différentielle

Reprint 1992
24,5 x 18 cm, oblong
344 p., 352 p. et 360 p.
Broché
3 volumes (non vendus séparément)
ISBN : 978-2-87647-032-3


S O M M A I R E

Tome I
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES
INTÉGRALES DÉFINIES
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

I - Introduction.
- Limites. Ensembles.
- Fonctions. Généralités.
II - Dérivées et différentielles.
- Définitions. Propriétés générales.
- Notation différentielle.
- Fonctions définies comme limites.
III - Fonctions implicites. Maxima et minima. Changements de variables.
- Fonctions implicites.
- Points singuliers. Maxima et minima.
- Déterminants fonctionnels.
- Changements de variables.
IV - Intégrales définies.
- Méthodes diverses de quadrature.
- Intégrales définies. Notions géométriques qui s'y rattachent.
- Changement de variables. Intégration par parties.
- Extensions diverses de la notion d'intégrales. Intégrales curvilignes.
- Différentiation et intégration sous le signe intégration.
V - Calcul des intégrales définies.
- Intégrales indéfinies.
- Calcul approché des intégrales définies.
- Méthodes diverses.
VI - Intégrales doubles.
- Intégrales doubles. Procédés de calcul. Formule de Green.
- Changements de variables. Volumes. Aire d'une surface courbe.
- Extension de la notion d'intégrale double. Intégrales de surface.
VII - Intégrales multiples. Intégration des différentielles totales.
- Intégrales multiples. Changements de variables.
- Intégration des différentielles totales.
VIII - Séries et produits infinis.
- Régles de convergence.
- Séries à termes imaginaires. Séries multiples.
- Produits infinis.
IX - Séries entières. Séries trigonométriques.
- Série de Taylor. Généralités.
- Séries entières à une variable.
- Séries entières à plusieurs variables.
- Fonctions implicites. Courbes et surfaces analytiques.
- Séries trigonométriques. Séries de polynomes.
X - Théorie des enveloppes. Contact.
- Courbes et surfaces enveloppes.
- Contact de deux courbes, d'une courbe et d'une surface.
XI - Courbes gauches.
- Plan osculateur.
- Courbure et torsion. Développées.
- Notions sur les systèmes de droites.
XII - Surfaces.
- Courbure des courbes tracées sur une surface.
- Lignes asymptotiques. Lignes de courbure.
- Correspondance entre les points de deux surfaces.
Note.
- Sur les formules de différentiation des intégrales définies.

Tome II
THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE

XIII - Fonctions élémentaires d'une variable complexe.
- Généralités. Fonctions monogènes.
- Séries entières à termes imaginaires. Transcendantes élémentaires.
- Transformations conformes du plan.
XIV - Théorie générale des fonctions analytiques d'après Cauchy.
- Intégrales définies prises entre des limites imaginaires.
- Intégrale de Cauchy. Séries de Taylor et de Laurent. Points singuliers. Résidus.
- Application des théorèmes généraux.
- Périodes des intégrales définies.
XV - Fonctions uniformes.
- Facteurs primaires de Weierstrass. Théorème de Mittag-Leffler.
- Fonctions doublement périodiques. Fonctions elliptiques.
- Inversion. Courbes du premier genre.
XVI - Le prolongement analytique.
- Définition d'une fonction analytique par un de ses éléments.
- Méthodes diverses de prolongement analytique.
- Espaces lacunaires. Coupures.
XVII - Fonctions analytiques de plusieurs variables.
- Propriétés générales.
- Fonctions implicites. Fonctions algébriques.
XVIII - Équations différentielles. Méthodes élémentaires d'intégration.
- Formation des équations différentielles.
- Équations du premier ordre.
- Équations d'ordre supérieur.
XIX - Théorèmes d'existence.
- Calcul des limites.
- Méthode des approximations successives. Méthode de Cauchy-Lipschitz.
- Intégrales premières. Multiplicateur.
- Transformations infinitésimales.
XX - Équations différentielles linéaires.
- Propriétés générales. Systèmes fondamentaux.
- Étude de quelques équations particulières.
- Intégrales régulières. Équations à coefficients périodiques.
- Systèmes d'équations linéaires.
XXI - Équations différentielles non linéaires.
- Valeurs initiales exceptionnelles.
- Étude de quelques équations du premier ordre.
- Intégrales singulières.
XXII - Équations aux dérivées partielles du premier ordre.
- Équations linéaires du premier ordre.
- Équations aux différentielles totales.
- Équations du premier ordre à trois variables.
- Équations simultanées.
- Généralités sur les équations d'ordre supérieur.

Tome III
INTÉGRALES INFINIMENT VOISINES
ÉQUATIONS AUX DÉRIVEES PARTIELLES DU SECOND ORDRE
ÉQUATIONS INTÉGRALES
CALCUL DES VARIATIONS

XXIII - Intégrales infiniment voisines.
- Équations aux variations.
- Solutions périodiques et asymptotiques. Stabilité.
XXIV - Équations de Monge-Ampère.
- Caractéristiques. Intégrales intermédiaires.
- Méthode de Laplace. Classification des équations linéaires.
XXV - Équations linéaires à n variables.
- Classification des équations à n variables.
- Applications à quelques exemples.
XXVI - Équations linéaires du type hyperbolique.
- Étude de quelques problèmes relatifs à l'équation s = f (x, y).
- Approximations successives. Méthode de Riemann.
- Équations à plus de deux variables.
XXVII - Équations linéaires du type elliptique.
- Fonctions harmoniques. Intégrale de Poisson.
- Problème de Dirichlet. Fonction de Green.
- Équation générale du type elliptique.
XXVIII - Fonctions harmoniques de trois variables.
- Problème de Dirichlet dans l'espace.
- Potentiel newtonien.
XXIX - Équation de la chaleur.
XXX - Résolution des équations intégrales par approximations successives.
- Équations intégrales linéaires à limites variables.
- Équations intégrales linéaires à limites fixes.
XXXI - L'équation de Fredholm.
- Les théorèmes de Fredholm.
- Étude du noyau résolvant.
XXXII - Les fonctions fondamentales.
XXXIII - Applications des équations intégrales.
- Applications aux équations différentielles.
- Applications aux équations aux dérivées partielles.
XXXIV - Calcul des variations.
- Première variation. Extrémales.
- Seconde variation. Conditions nécessaires pour l'extrémum.
- Champs d'extrémales. Conditions suffisantes.
- Théorie de Weierstrass. Solutions discontinues.
Note sur la représentation conforme.