GAUSS : Recherches arithmétiques, 1807

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Carl Friedrich GAUSS

RECHERCHES

ARITHMÉTIQUES

Titre original
DISQUISITIONES ARTHMETICAE
1801

Traduit par A.-C.-M. Poullet-Delisle

A Paris, chez Courcier, Imprimeur-Libraire pour les Mathématiques
1807

Auteur :
Carl Friedrich GAUSS

Traduction :

A.-C.-M. POULLET-DELISLE

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Théorie des nombres

Reprint 1989

16 x 24 cm
528 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-054-5


S O M M A I R E

1 -
Des nombres congrus en général
2 -
Des congruences du premier degré
3 -
Des résidus des puissances
4 -
Des congruences du second degré
5 -
Des formes et des équations du second degré. Recherches ultérieures sur les formes
6 -
Application des recherches précédentes
7 -
Des équations qui déterminent les divisions du cercle


P R É S E N T A T I O N

Extrait de la Préface.

Les Recherches contenues dans cet Ouvrage appartiennent à cette partie des Mathématiques où l'on considère particulièrement les nombres entiers, quelquefois les fractions, mais où l'on exclut toujours les nombres irrationnels.
L'Analyse indéterminée, ou de Diophante, qui apprend à distinguer, parmi les solutions d'un problème indéterminé, celles qui sont entières, ou du moins rationnelles et le plus souvent positives, ne constitue pas cette doctrine, mais elle en est une partie très distincte ; elle a avec elle à peu près le même rapport que l'Algèbre, c'est à dire, l'art de réduire ou de résoudre les équations, avec l'Analyse universelle. En effet, de même que l'on rapporte à l'Analyse toutes les recherches que l'on peut faire sur les affections générales des quantités, la considération des nombres entiers et des fractions, quand ces dernières s'expriment au moyen de nombres entiers, constituent proprement l'objet de l'Arithmétique ; mais on ne donne ordinairement sous ce nom que l'art de former les nombres et de les calculer, c'est à dire, l'art de représenter les nombres par des signes convenables (par exemple, suivant le système décimal), et d'exécuter les opérations arithmétiques, en y ajoutant quelques points, dont les uns n'appartiennent pas à l'Arithmétique, comme la théorie des logarithmes, et les autres ne sont pas particuliers aux nombres entiers, et ont lieu pour toutes les quantités. On voit par là que l'on doit distinguer deux parties dans l'Arithmétique, et que les considérations dont nous venons de parler se rapportent à l'Arithmétique élémentaire, tandis que les recherches générales sur les affections particulières aux nombres entiers sont revendiquées par l'Arithmétique transcendante.
Ce qu'Euclide a présenté dans le Livre VII de ses Éléments, avec l'élégance et la rigueur ordinaire aux anciens, appartient à l'Arithmétique transcendante, mais se borne aux premiers éléments. Le célèbre Ouvrage de Diophante, qui est consacré tout entier aux problèmes indéterminés, contient un grand nombre de questions qui, par leur difficulté et la subtilité des artifices, donnent une grande idée du génie et de la pénétration de l'auteur, surtout quand on considère le peu de ressources qu'il pouvait employer ; mais comme ces problèmes demandent plutôt de l'adresse et des procédés ingénieux que des principes difficiles, et qu'en outre ils sont trop particuliers et conduisent rarement à des conclusions générales, cet Ouvrage semble plutôt avoir fait époque dans l'histoire des Mathématiques, parce qu'il fixe les premiers vestiges de l'Algèbre, qu'avoir enrichi l'Arithmétique transcendante par de nouvelles découvertes. La Science est bien plus redevable aux modernes, parmi lesquels peu d'hommes à la vérité, mais tous dignes d'une gloire immortelle, Fermat, Euler, Lagrange, Legendre (et un petit nombre d'autres), ont ouvert l'entrée de cette science divine, et ont découvert la mine inépuisable de richesses qu'elle renferme. Nous rendrons hommage à ces différentes découvertes, lorsque l'occasion s'en présentera dans nos Recherches.




A N A L Y S E
 

David HILBERT
Théorie des corps de nombres algébriques, 1909-1911

Reprint Jacques Gabay, 1991

La théorie des nombres est une des branches les plus anciennes des sciences mathématiques, et l'esprit humain remarqua de bonne heure quelques propriétés profondes des nombres naturels. Toutefois, ce n'est qu'aux temps modernes qu'elle doit son existence comme science indépendante et systématique.
On vante toujours de cette théorie des nombres la simplicité de ses fondements, la précision de ses notions et la pureté de ses vérités. D'autres branches des connaissances mathématiques ont dû subir des développements plus ou moins longs avant d'atteindre les exigences de la certitude dans les concepts et de la rigueur dans les raisonnements.
Nous ne sommes donc pas surpris de l'enthousiasme qui a toute époque anima ses adeptes. Legendre dit en dépeignant l'amour d'Euler pour la théorie des nombres : "Presque tous les mathématiciens qui s'occupent de la théorie des nombres le font avec passion." Nous nous rappelons aussi combien notre maître Gauss tenait en honneur la science arithmétique. Dès que, pour la première fois, il eut trouvé à souhait une démonstration d'une remarquable vérité arithmétique, "le charme de ces recherches l'avait tellement ensorcelé que, désormais, il ne put plus les laisser". Il prisait Fermat, Euler, Lagrange et Legendre "comme des hommes d'une gloire incomparable, car ils ont ouvert les portes du sanctuaire de cette science divine et ont montré ce qu'il contient de richesses".
C'est une particularité de la théorie des nombres que la difficulté de la démonstration de certaines vérités simples découvertes facilement par voie d'induction. "Et précisément ce qui donne à l'Arithmétique supérieure", dit Gauss, "ce charme magique qui en fait la science préférée des géomètres, c'est de ne pas douter de ses richesses inépuisables qui surpassent celles de toutes les autres parties des mathématiques".
On connaît la préférence de Lejeune-Dirichlet pour l'Arithmétique, l'activité de Kummer fut consacrée surtout à la Théorie des nombres, et Kronecker exprima les sentiments de son cours de mathematicien en ces termes : "Dieu fit le nombre entier, le reste est œuvre de l'homme."
Si l'on tient compte de la rareté de ses pétitions de principe, la théorie des nombres est certainement la branche de la connaissance mathématique dont les vérités sont les plus faciles à saisir.
Mais pour comprendre et se rendre maître des concepts arithmétiques, l'esprit doit posséder une grande faculté d'abstraction, - c'est là un reproche que l'on fait quelquefois à l'Arithmétique. - Je suis d'avis que les autres branches des mathématiques exigent une faculté d'abstraction au moins égale, en admettant que dans ces domaines aussi on apporte la même rigueur et la même perfection dans l'examen des notions fondamentales.
En ce qui concerne le rôle de la théorie des nombres dans l'ensemble des sciences mathématiques, Gauss dans sa Préface des Disquisitiones arithmeticae, considère encore la théorie des nombres comme une théorie des nombres naturels en excluant expressément les nombres imaginaires.
D'après cela, il ne considère pas que la théorie de la division du cercle (Kreisteilung) appartient à la théorie des nombres ; mais il ajoute "que ces principes peuvent être tirés tout entiers et uniquement de l'Arithmétique supérieure". A côté de Gauss, Jacobi et Lejeune-Dirichlet expriment maintes fois et avec force leur surprise à propos des rapports étroits entre les questions concernant les nombres et certains problèmes algébriques, en particulier les problèmes de la division du cercle. La raison intime de ces rapports est parfaitement découverte aujourd'hui. La théorie des nombres algébriques et la théorie des équations de Galois ont leur racines communes dans la Théorie des corps algébriques, et cette théorie du corps de nombres est devenue la partie la plus importante de la théorie moderne des nombres.
Le mérite d'avoir apporté le premier germe de la théorie du corps de nombres appartient encore à Gauss. Gauss reconnut que la source naturelle pour arriver aux lois des restes biquadratiques était "l'extension du champ de l'arithmétique", comme il dit, cette extension s'obtenant par l'introduction des nombres entiers imaginaires de la forme a + bi
; il posa et résolut le problème d'étendre à ces nombres imaginaires toutes les lois de la divisibilité et des propriétés des congruences des nombres ordinaires. Plus tard, Dedekind et Kronecker, en développant et généralisant cette pensée et en se basant sur les idées de Kummer ayant une portée plus grande, arrivèrent à établir notre théorie actuelle du corps de nombres algébriques.

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