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LAGRANGE, Joseph-Louis

LAGRANGE, Joseph-Louis

LAGRANGE, Joseph-Louis



Né le 25 janvier 1736 à Turin, Italie
Décédé le 10 avril 1813 à Paris





Extrait de l’article LAGRANGE (Joseph-Louis), par René Taton, Dictionnaire des biographies, PUF, 1958

« Professeur à l’École d’Artillerie de Turin dès l’âge de 19 ans, il révéla bientôt des dons mathématiques exceptionnels et publia de nombreux mémoires sur les équations aux dérivées partielles, le calcul des variations et les questions de mathématiques les plus variées.
Euler
qui avait apprécié ses talents, le proposa à Frédéric II pour lui succéder comme directeur de la classe mathématique de l’Académie de Berlin. Lagrange occupa ces fonctions de 1766 jusqu’en 1786, date de la mort de Frédéric II.
Répondant à l’appel de Louis XVI, Lagrange vint alors s’établir à Paris comme pensionnaire vétéran de l’Académie des Sciences.
Sous la Révolution, il n’eut que peu d’ennuis et remplit diverses fonctions scientifiques. Alors qu’il n’avait jamais enseigné, il accepta de donner des cours de mathématiques aux élèves de l’École Normale de l’an III et des leçons d’analyse aux élèves des premières promotions de l’École Polytechnique (de 1795 à 1799).
Lagrange qui fut nommé par Napoléon sénateur et comte d’Empire mourut à Paris le 10 avril 1813. Son œuvre qui s’étend à toutes les parties de l’analyse et à la mécanique est d’une importance exceptionnelle ; Lagrange fut certainement le plus éminent des mathématiciens de son époque. »


Extrait de La vie et l'œuvre de J.-L. Lagrange, par Gaston Julia, L'Enseignement Mathématique, Vol. 39 (1942-1950)

Interrogez aujourd'hui un « taupin » sur ce qu'il connaît de Lagrange ; il vous répondra, s'il a bonne mémoire :
Je connais les dérivées, les primitives, dans les notations de Lagrange ;
Je connais la forme du reste dans la formule de Taylor ;
Je connais la séparation, par opérations rationnelles, des racines simples et multiples d'une équation algébrique.
Un «taupin» d'autrefois aurait ajouté: je connais la périodicité du développement en fraction continue des racines d'une équation algébrique du deuxième degré à coefficients entiers, résultat qui a la beauté des choses simples et définitives.
Un de nos polytechniciens ou un de nos licenciés, à la même question répondrait:
Je connais en Analyse la méthode d'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, dite de Lagrange et Charpit, et la théorie des intégrales singulières;
Je connais le facteur intégrant et les multiplicateurs de Lagrange ;
Je connais la représentation conforme des surfaces et la théorie des cartes géographiques ;
Je connais les éléments du Calcul des Variations.
En Mécanique, je connais le mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe et surtout les équations universelles de Lagrange, planche de salut des candidats au certificat de Mécanique rationnelle ;
Je connais le principe de la moindre action, les équations de l'hydrodynamique ;
On m'a aussi dit un mot de ses travaux sur le problème des trois corps ;
Je sais que Lagrange est l'auteur de la Mécanique analytique, qui a fixé sous une forme à peu près définitive la Mécanique classique.
Notre polytechnicien, notre licencié auraient, avouons-le, une idée sommaire, mais assez exacte de l'oeuvre de Lagrange.
Si j'ajoute que cette oeuvre magnifique a nourri des mathématiciens comme Galois, Cauchy, Hermite, pour ne citer que trois noms particulièrement glorieux d'héritiers directs de la pensée de Lagrange, je crois donc pouvoir conclure que Lagrange est l'un des plus grands et le premier en date des mathématiciens que nous considérons comme nos classiques, et c'est précisément ce que je voulais démontrer. »








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On a déjà plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l'art de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. J'espère que la manière dont j'ai tâché de remplir cet objet, ne laissera rien à désirer.
Cet ouvrage aura d'ailleurs une autre utilité ; il réunira et présentera sous un même point de vue, les différents Principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de Mécanique, en montrera la liaison et la dépendance mutuelle, et mettra à portée de juger de leur justesse et de leur étendue.
Je le divise en deux Parties ; la Statique ou la Théorie de l'Équilibre, et la Dynamique ou la Théorie du Mouvement ; et chacune de ces parties traitera séparément des Corps solides et des fluides.
On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions, ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse, verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine.
Joseph-Louis LAGRANGE, Avertissement

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La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière analyse, à la résolution d'une ou de plusieurs équations, dont les coefficients sont donnés en nombres, et qu'on peut appeler équations numériques. Il est donc important d'avoir des méthodes pour résoudre complètement ces équations, de quelque degré qu'elles soient. Celle que l'on trouve dans le Recueil des Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de découvrir toutes les racines tant réelles qu'imaginaires d'une équation numérique donnée, et d'approcher le plus rapidement et aussi près que l'on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans le présent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour l'année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.
Joseph-Louis LAGRANGE, Introduction

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Aucune des méthodes pratiquées ou proposées jusqu'à ce jour, pour suppléer à la méthode d'exhaustion des anciens, et pour la réduire en algorithme régulier, n'a paru à Lagrange réunir au degré désirable, l'exactitude et la simplicité requises dans les sciences mathématiques. Il a pensé néanmoins qu'il n'était pas impossible d'atteindre ce but important, et ses recherches à cet égard nous ont valu le grand ouvrage qu'il a publié sous le titre de Théorie des fonctions analytiques, contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits, d'évanouissants, de limites et de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies. Lagrange a de plus donné, sur le même sujet, un autre ouvrage considérable, intitulé, Leçons sur le calcul des fonctions, lequel est un commentaire et un supplément pour le premier.
Ces écrits sont marqués au coin du génie original et profond, auquel nous devions déjà le Calcul des variations et la Mécanique analytique ; mais comme ils doivent se trouver entre les mains de tous ceux qui veulent approfondir la science du calcul, je n'en dirai ici qu'un mot.
Afin de conserver, dans tout le cours de ses opérations, l'exactitude rigoureuse dont il s'est fait la loi de ne jamais s'écarter, Lagrange qui fait aussi usage des différentielles, sous une autre dénomination et sous une autre notation, les considère comme des quantités finies, indéterminées. En conséquence il ne néglige aucun terme, et prend ses différentielles, comme on le fait, dans le calcul aux différences finies. C'est à quoi il parvient par le théorème de Taylor, dont il fait la base de sa doctrine, et qu'il démontre directement par l'analyse ordinaire, tandis qu'avant lui, on ne l'avait encore démontré que par le secours même du calcul différentiel.
Lazare CARNOT, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal, 2édition

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Les Leçons suivantes, destinées à servir de commentaire et de supplément à la première Partie de la Théorie des fonctions analytiques, offrent un cours d'Analyse sur cette partie du calcul qu'on nomme communément infinitésimale ou transcendante, et qui n'est proprement que le Calcul des fonctions.
Ceux qui ont étudié le Calcul différentiel pourront se former, dans ces Leçons, des notions simples et exactes de ce Calcul ; ils y trouveront aussi des formules et des méthodes nouvelles, ou qui n'ont pas encore été présentées avec toute la clarté et la généralité qu'on pourrait désirer.
Dans cette nouvelle Édition, on a retouché plusieurs endroits pour y mettre plus de clarté et de simplicité, et on a inséré différentes additions dont les principales se trouvent dans les Leçons dix-huitième, vingt et unième et vingt-deuxième. Cette dernière contient un traité complet du Calcul des variations.
Joseph-Louis LAGRANGE, Avertissement

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La lecture de Lagrange était universelle ; il avait, outre les œuvres de ses contemporains, étudié avec une remarquable objectivité les travaux de tous les précurseurs anciens et modernes connus de son temps, comme en font foi les notices historiques dont il enrichit son traité. De cette lecture, Lagrange élimine les balbutiements et les contradictions qui abondent chez les précurseurs. Adoptant les concepts et les postulats des grands créateurs du siècle précédent (Galilée, Huyghens, Newton) et dépassant Euler et d'Alembert, Lagrange se préoccupe avant tout d'organiser la Mécanique, d'en fondre les principes, d'en perfectionner la langue mathématique, d'en dégager une méthode analytique générale de résolution des problèmes. Sa clarté d'esprit, son génie mathématique le servent à tel point qu'il parvient à une codification quasi parfaite de la Mécanique dans le champ classique. D'une façon précise, Lagrange énonce ainsi dans un Avertissement les buts qu'il se propose :
« Réduire la théorie de la mécanique et l'art d'y résoudre les problèmes qui s'y rapportent à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème. »
« Réunir et présenter sous un même point de vue les différents Principes trouvés jusqu'ici pour faciliter la solution des questions de mécanique, en montrer la dépendance mutuelle et mettre à portée de juger de leur justesse et de leur étendue. »
Quant au point de vue purement mathématique qui est la préoccupation essentielle de Lagrange, celui-ci l'affirme ainsi :
« On ne trouvera point de Figures dans cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ni raisonnements géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une marche régulière et uniforme. Ceux qui aiment l'Analyse verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche et me sauront gré d'en avoir étendu ainsi le domaine. »
René DUGAS, Histoire de la Mécanique, 1950

 

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