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Théorie des nombres


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La théorie des nombres occupe une place très particulière en mathématiques. Très simples sont ses énoncés les plus fameux ; le lien direct qui la relie à la théorie des ensembles la rend théoriquement accessible au grand nombre. Pourtant, la technique nécessaire à la recherche dans ce domaine est souvent très complexe ; ce n'est qu'après un temps assez long que l'on parvient, en général, à des démonstrations élémentaires.

Denis GERLL et André WARUSFEL, Préface de : Waclaw SIERPINSKI, 250 problèmes de théorie élémentaire des nombres, 1972

 

 

 

 


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Référence: 149

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Ce livre s'adresse aux mathématiciens débutants ; il constitue une introduction à la théorie des nombres, aux problèmes soulevés par cette théorie et aux méthodes utilisées.
Nous avons choisi une méthode d'exposition dans laquelle les problèmes et les techniques d'étude sont étroitement liés. En principe, nous partons de problèmes concrets relatif aux nombres entiers ; les théories générales interviennent alors pour résoudre ces problèmes. En général, ces théories seront suffisamment développées pour en faire saisir la richesse et apprendre à les appliquer.
Les questions étudiées dans ce livre se rattachent principalement à la théorie des équations diophantiennes, i. e. à la théorie de la résolution en nombres entiers des équations à plusieurs inconnues.
On considérera également des questions d'autre nature : par exemple, le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans une progression arithmétique ou les théorèmes sur la variation du nombre de solutions d'une congruence.
Les méthodes qui interviennent ici sont surtout algébriques, principalement la théorie des extensions finies des corps et de leurs métriques. Cependant, on a accordé une place importante aux méthodes analytiques : le chapitre V leur est consacré et la méthode des fonctions analytiques p-adiques est exposée dans le chapitre IV.
A plusieurs reprises interviennent également des considérations géométriques.
Ce livre n'exige pas de grandes connaissances de la part du lecteur. Deux années d'Université suffisent pour comprendre la presque totalité de l'ouvrage ; c'est seulement dans le dernier chapitre qu'interviennent quelques résultats relatifs aux fonctions analytiques.
A la fin du livre, dans un « appendice algébrique » nous avons rappelé des définitions précises, des énoncés et parfois des démonstrations des résultats qui interviennent au cours de l'ouvrage et peuvent ne pas figurer dans certains cours d'algèbre.
Ce livre est tiré d'un cours fait par un des auteurs à l'Université de Moscou.
Z. I. BOREVITCH et I. R. CHAFAREVITCH, Préface

50,00 *
Référence: 280

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On peut regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs.
Joseph-Louis LAGRANGE, Leçons sur lecalcul des fonctions

Fermat cultiva avec un grand succès la science des nombres, et s'y fraya des routes nouvelles.
Adrien-Marie LEGENDRE, Théorie des nombres

La seule forme à adopter, pour la reproduction des ouvrages de Fermat, est celle du Précis français que nous avons essayé de rédiger, en nous appliquant à n'altérer ni à omettre aucune des idées ou des démonstrations de l'auteur, et en profitant pour notre exposition des avantages de l'écriture algébrique moderne. Par ce moyen, nous espérons avoir rendu aisément intelligibles des propositions dont l'élégance et la finesse sont obscurcies par des notations sans simplicité. Nous avons pensé qu'il suffisait, pour conserver la tradition historique, de transcrire quelques exemples de l'écriture algébrique ancienne, aussi imparfaite pour exprimer les énoncés, qu'incommode pour le développement des déductions et des calculs.
Émile BRASSINNE, Introduction

Référence: 167

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On peut s'étonner que les recueils de problèmes, avec solutions, soient si rares pour la géométrie et l'arithmétique.
Je regrette de ne plus voir dans le commerce le recueil de problèmes de géométrie qu'avait publié jadis M. Catalan. A la vérité, pour cette science, l'excellent petit livre de M. Petersen peut rendre des services inappréciables. Pour l'arithmétique, je n'en connais pas en France d'autre que le présent livre.
Je l'ai parcouru avec un vif intérêt : on y trouvera un grand nombre de questions sur les diverses parties de l'arithmétique, depuis la numération jusqu'à ces régions qui donnent accès dans la théorie des nombres.
Toutes ces questions sont instructives et beaucoup d'entre elles m'ont paru nouvelles et ingénieuses. On sent que l'auteur a mis une sorte de curiosité passionnée à les réunir. Les solutions sont simples et élégantes. Je crois que ce livre rendra de grands services aux élèves et aux maîtres, qui doivent à l'auteur pour l'avoir écrit d'autant plus de reconnaissance qu'il n'est plus professeur, et que le goût de la science l'a guidé, non des préoccupations de métier.
Jules TANNERY, Préface de la première édition

65,00 *
Référence: 054

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Dans la première année du siècle, Gauss fit paraître les Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, 1801). Une traduction française, les Recherches arithmétiques (Paris, 1807), est due à Poullet-Delisle. Depuis, de nombreuses éditions de cet ouvrage admirable ont été publiées dans plusieurs langues, et notamment la version originale, en langue allemande, pour laquelle l'auteur n'avait pu trouver d'éditeur.
Ce livre, monument impérissable, dévoile l'immense étendue, l'étonnante profondeur de la pensée humaine. Son auteur excella dans toutes les parties des Sciences mathématiques, pures et appliquées ; dans l'Analyse algébrique, dans la Théorie des fonctions, dans le Calcul des probabilités, dans la Géométrie des surfaces, dans l'Astronomie physique et pratique, dans la Mécanique céleste, dans l'Optique, dans le Magnétisme, dans la Théorie des attractions, etc.; ses compatriotes l'ont, avec raison, surnommé Princeps mathematicorum. Mais ce que ce savant illustre, que l'on doit placer à côté des plus grands génies scientifiques de l'humanité, préférait par-dessus tout, c'était sa chère Arithmétique, ainsi qu'il le répétait continuellement dans sa correspondance ; nous n'y contredirons point.
Édouard LUCAS, Théorie des nombres, 1891

64,00 *
Référence: 154

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Ah ! Quel bon livre ! Comme il vient à son heure ! Et qu'il aurait plu à un grand mathématicien comme Henri Lebesgue ! Il faut remercier très vivement Monsieur Gerll et son éditeur d'avoir réuni pour un vaste public de langue française de tels documents !
On trouvera les textes des épreuves données aux Olympiades internationales de mathématiques des dernières années, avec des solutions de celles-ci ; mais on trouvera aussi des textes des Olympiades antérieures, enfin, et surtout un très grand choix de questions très diverses qui avaient été envisagées.
André MAGNIER, Préface

16,00 *
Référence: 043

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L'ouvrage de M. Hilbert sur La Théorie des Nombres algébriques est un de ces Rapports que publie la Société des Mathématiciens allemands et qui fixent l'état de la Science à une époque et dans un domaine. M. Hilbert, sans négliger le point de vue historique, y reprend toute la théorie d'une manière didactique, suivie, complète et personnelle. Il fond, dans un exposé nouveau, tous les résultats acquis ; il énonce et enchaîne les propositions avec la plus grand soin, fait ressortir les théorèmes essentiels ; enfin, dans les démonstrations, toujours nettes et précises, s'il laisse parfois de côté les points secondaires et faciles, c'est pour mieux mettre en relief le nœud même du raisonnement.
Bien des géomètres, en rédigeant un Mémoire, ont rêvé certainement d'un mode d'exposition où les lignes essentielles seraient marquées en vigueur, et les détails seulement esquissés : l'habitude, la crainte de l'obscurité les ont généralement ramenés dans la route traditionnelle. M. Hilbert a su en sortir. Aussi nul livre n'est-il, pour les mathématiciens, d'une lecture plus attachante : il conduit, sans effort sensible, des parties les plus élémentaires jusqu'aux sommets de cette belle Science des Nombres, déjà si féconde en résultats et si riche encore en promesses. Qui l'a lu, compris et médité possède les méthodes et sait leurs conséquences.
Georges HUMBERT, Préface

57,00 *
Référence: 308

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Le premier traité d'Arithmétique supérieure, où d'Arithmologie, a été publié à la fin du siècle dernier par Legendre, sous le titre : Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI [1798]. Cet excellent ouvrage renfermait non seulement tout ce qui était connu jusqu'alors sur cette science, et notamment les recherches d'Euler et de Lagrange, sur les théorèmes énoncés par Fermat, mais encore les nombreuses découvertes de l'illustre auteur, qui rendit de si grands services à l'Arithmétique. On lui doit le théorème fondamental qui porte son nom, c'est-à-dire la Loi de réciprocité des résidus quadratiques. Deux autres éditions, considérablement augmentées, ont été publiées de son vivant ; la troisiéme, définitive, en 1830.
Édouard LUCAS, Théorie des nombres, 1891

150,00 *
Référence: 042

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Le premier Livre traite de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de la division et de la classification des entiers ; des nombres figurés et de l'analyse combinatoire. Il se termine par deux Chapitres, l'un sur la Géométrie de situation, l'autre sur la multiplication algébrique.
Au Chapitre de l'addition se trouve exposé le triangle arithmétique de Pascal et ainsi de suite pour les suivants ; chaque notion primordiale se trouve accompagnée de ses divers développements immédiats. Nous ne pouvons que signaler cette méthode dont l'application systématique a conduit l'auteur à nombre d'heureux rapprochements qu'il faut étudier dans son Livre.
Les dix Chapitres du second Livre sont consacrés aux nombres fractionnaires, au Calcul des probabilités, à la division algébrique, aux polynômes dérivés, au calcul symbolique (particulièrement appliqué aux permutations sur l'échiquier), à la sommation des puissances numériques (nombres de Bernoulli, de Genocchi et d'Euler, suites de Cesaro) ; aux fonctions symétriques, aux déterminants, aux suites récurrentes linéaires et aux fonctions numériques du second ordre, dont la théorie, comme on sait, appartient en propre à l'auteur.
Le Livre III comprend six Chapitres : codiviseurs et comultiples (Éd. Lucas emploie ces abréviations commodes au lieu des expressions : diviseurs communs et multiples communs) ; nombres premiers ; diviseurs des nombres ; indicateur (terme de Cauchy pour désigner le nombre des entiers au plus égaux à n et premiers à n) ; restes (résidus) ; fractions continues.
Onze additions concernent : la partition du polygone ; le problème des rencontres ; celui des ménages ; les nombres d'Hamilton ; les réseaux d'un quinconce ; la sommation des indicateurs ; les permutations circulaires avec répétition ; les restes du triangle arithmétique ; les nombres de Clausen et de Staudt ; l'extraction des racines par les moyennes ; et les réduites intermédiaires. 
Paul TANNERY, Bull. des Sciences mathém., 2e série, t. XVI (juin 1892)

41,00 *
Référence: 100

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ARTICLES :

I-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

I-2 : ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

I-3 : NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

I-4 : ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

I-5 : NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

I-6 : ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

I-7 : THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

i-8 : SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

58,00 *
Référence: 102

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ARTICLES :

I-15 : PROPOSITIONS ÉLÉMENTAIRES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - E. Maillet

I-16 : THÉORIE ARITHMÉTIQUE DES FORMES
K. Th. Vahlen - E. Cahen

I-17 : PROPOSITIONS TRANSCENDANTES DE LA THÉORIE DES NOMBRES
P. Bachmann - J. Hadamard - E. Maillet

I-18 : THÉORIE DES CORPS DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
D. Hilbert - H. Vogt

I-19 : MULTIPLICATION COMPLEXE *
H. Weber - E. Cahen

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

37,00 *
Référence: 315

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Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

125,00 *
Référence: 225

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On sait que Jacques Bernoulli dont le nom est indissolublement lié au Calcul des probabilités par la loi des grands nombres, a introduit dans son fameux ouvrage posthume sur l'Art de conjecturer, Ars conjectandi, publié en 1713, une suite infinie de nombres rationnels particuliers devenus célèbres en analyse mathématique. Le grand Euler les a retrouvés à son tour et popularisés sous le nom de nombres de Bernoulli, se servant de l'initiale de ce nom pour les désigner, et sa notation a acquis droit de cité en mathématiques.
Une pléiade de mathématiciens, parmi lesquels les plus grands géomètres et calculateurs, les Cauchy, Gauss, Hermite et Kronecker, les Jacobi, Lipschitz, Lucas, de Moivre, les Raabe, Saalschütz, von Staudt, Stern, Sylvester, etc., se sont occupés de ces curieux nombres, de sorte qu'il y a une littérature assez étendue sur ce sujet spécial. M. Niels Nielsen de l'Université de Copenhague, à qui l'on doit plusieurs ouvrages importants et de nombreuses monographies sur la Théorie des fonctions, était bien placé pour coordonner ce que l'on sait des nombres de Bernoulli, puisqu'il a mis depuis quelques années sa vaste érudition mathématique plus spécialement au service de la Théorie des nombres.
[...]
Les indications bibliographiques sont très nombreuses et exactes. Le lecteur trouve dans le traité lui-même toutes les définitions et tous les théorèmes nécessaires à la compréhension entière du texte. C'est le Traité le plus complet et le meilleur que je connaisse sur les nombres de Bernoulli et les domaines connexes, et il convient d'en féliciter M. Niels Nielsen.
Louis-Gustave DU PASQUIER, L'Enseignement Mathématique 23 (1923)

62,00 *
Référence: 144

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Il est à peine besoin de dire que le Théorème de Fermat dont il s'agit est celui qui est relatif à l'équation xn + yn = zn et à son impossibilité en nombres entiers dès que n surpasse 2.
Ce livre va certainement rendre service aux Académies et Sociétés scientifiques diverses qui voient continuellement tomber sur leur bureau de prétendues démonstrations du diabolique théorème. Ces productions, dues à des arithméticiens d'occasion, pêchent d'abord, et très généralement, par un manque absolu d'érudition. Chacun essaie son petit truc sans paraître se douter de l'envergure prise par les infructueuses tentatives dues à de véritables savants. On peut espérer qu'un exposé comme celui de M. Noguès incitera davantage à la prudence.
Cet exposé est divisé en une partie historique et en une partie mathématique proprement dite, ce qui se comprend fort bien. L'histoire d'essais avortés peut être fort exacte et il valait mieux ne pas la confondre avec les essais eux-mêmes, brièvement reproduits, à grands traits, plutôt que discutés et analysés. C'eut été là, d'ailleurs, une tâche formidable pour laquelle il aurait fallu nombre de gros volumes.
Tous les essais que l'on peut qualifier de malheureux, du fait qu'ils n'ont pas atteint le but visé, ne sont point cependant regrettables en eux-mêmes. Chez les grands mathématiciens ils ont donné nombre de résultats de haute valeur aidant à constituer l'Arithmétique supérieure, la Théorie des Nombres algébriques et celle des Idéaux.
Parmi les auteurs tentés par le sujet citons Euler, Legendre, Abel, Lejeune-Dirichlet, Libri, Kummer, Lamé, Lebesgue (1840), Liouville, Cauchy, Kronecker, Genocchi, Korkine, E. de Jonquières, Catalan, Mansion, Mathews, Mirimanoff, Smith, Maillet, Hurwitz, Dickson, Wieferich, Fleck, Gouy, Fabry, Vandiver, Pomey, Mordell.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique 31 (1932) 

 

 

19,00 *
Référence: 139

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Les nombres exercent un attrait auréolé de mystère et quelques théorèmes fondamentaux permettent d'en découvrir les multiples propriétés. Ainsi Hadamard et de La Vallée Poussin ont-ils prouvé que la quantité de nombres premiers inférieurs à x est équivalente à x/Log x quand x est grand. La démonstration en est difficile, demande une bonne connaissance des fonctions de variable complexe... et plusieurs heures de cours. Pourtant les applications de ce résultat sont nombreuses et élémentaires. Il en est de même de bien d'autres théorèmes en théorie des nombres, comme le théorème de Gel'fond-Schneider (ab est transcendant si a et b sont algébriques, a différent de 0, a différent de 1, b irrationnel), le théorème du crible, le critère de Weyl pour la répartition modulo 1, etc.
Le présent ouvrage rassemble 166 exercices et problèmes de théorie des nombres. Chaque chapitre débute par un rappel des théorèmes fondamentaux de sorte qu'il suffit d'en admettre les énoncés pour être à même de traiter les problèmes. Le niveau des exercices est variable. Beaucoup sont résolubles par les étudiants de 1er cycle alors que quelques-uns s'adressent plutôt à ceux de maîtrise et de 3e cycle.

45,00 *
Référence: 175

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Les recherches et les publications de Henri Poincaré sur l'Algèbre et l'Arithmétique sont très diverses. Certaines se rattachent à des travaux contemporains d'Arithmétique qu'il a enrichis de méthodes et d'idées nouvelles.
C'est ainsi qu'un grand nombre de ses Notes et de ses Mémoires ont été inspirés par des travaux, des exposés ou des méthodes de Clebsch, Steiner,Lie, Sylvester, Laguerre, Appell, Hill, HadamardGauss, Bravais, Eisenstein, Hermite, Selling, Korkine et Zolotareff, Lejeune Dirichlet, Kummer, Dedekind, JordanTchebicheff, Fredholm, etc...
D'autres concernent des applications à l'arithmétique de ses découvertes d'analyse, mais aussi l'utilisation de l'arithmétique dans la construction de cette analyse. C'est le cas pour les études sur les invariants arithmétiques, sur les groupes fuchsiens, dont certains qualifiés arithmétiques sont engendrés par des substitutions automorphes de formes quadratiques, sur les fonctions fuchsiennes définies par ces groupes arithmétiques et qui ont un théorème d'addition ; sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. On sait notamment que ce dernier travail a été l'origine de nombreuses recherches ultérieures.
Albert CHÂTELET, Note

Référence: 142

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Ce livre est très connu en Europe de l'Est, où il sert souvent de base à un entraînement progressif aux compétitions (Olympiades) d'où se dégagent les noms des meilleurs mathématiciens de demain. Quel domaine est plus apte à déceler les qualités naturelles de finesse, d'intuition et de rigueur que la théorie des nombres ? Un exercice dont l'énoncé est compréhensible par tous, mais qui demande la mise en jeu complète de toutes les facultés mathématiques sans érudition inutile: voilà le patron de la plupart des problèmes ici rassemblés. On trouvera également de nombreuses « curiosités », dont on connaît le rôle éminemment positif dans le développement des mathématiques. La passion qui saisit, un jour, beaucoup de scientifiques pour ce genre de problèmes ne se dément presque jamais, que ce soit chez les mathématiciens professionnels ou les amateurs – qui sont légion.

Denis GERLL et André WARUSFEL, Préface

La théorie élémentaire des nombres est la discipline la mieux adaptée à un enseignement primaire des mathématiques. Elle ne demande que très peu de connaissances antérieures, et le sujet de son étude est concret et familier ; les méthodes de raisonnement employées sont simples, générales et peu nombreuses ; et elle est unique parmi les diverses branches des mathématiques pour la curiosité humaine qu'elle requiert.
G. H. HARDY, Bull. Amer. Soc. 35 (1929)

43,00 *
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