Ce livre s'adresse aux mathématiciens débutants ; il constitue une introduction à la théorie des nombres, aux problèmes soulevés par cette théorie et aux méthodes utilisées.
Nous avons choisi une méthode d'exposition dans laquelle les problèmes et les techniques d'étude sont étroitement liés. En principe, nous partons de problèmes concrets relatif aux nombres entiers ; les théories générales interviennent alors pour résoudre ces problèmes. En général, ces théories seront suffisamment développées pour en faire saisir la richesse et apprendre à les appliquer.
Les questions étudiées dans ce livre se rattachent principalement à la théorie des équations diophantiennes, i. e. à la théorie de la résolution en nombres entiers des équations à plusieurs inconnues.
On considérera également des questions d'autre nature : par exemple, le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans une progression arithmétique ou les théorèmes sur la variation du nombre de solutions d'une congruence.
Les méthodes qui interviennent ici sont surtout algébriques, principalement la théorie des extensions finies des corps et de leurs métriques. Cependant, on a accordé une place importante aux méthodes analytiques : le chapitre V leur est consacré et la méthode des fonctions analytiques p-adiques est exposée dans le chapitre IV.
A plusieurs reprises interviennent également des considérations géométriques.
Ce livre n'exige pas de grandes connaissances de la part du lecteur. Deux années d'Université suffisent pour comprendre la presque totalité de l'ouvrage ; c'est seulement dans le dernier chapitre qu'interviennent quelques résultats relatifs aux fonctions analytiques.
A la fin du livre, dans un « appendice algébrique » nous avons rappelé des définitions précises, des énoncés et parfois des démonstrations des résultats qui interviennent au cours de l'ouvrage et peuvent ne pas figurer dans certains cours d'algèbre.
Ce livre est tiré d'un cours fait par un des auteurs à l'Université de Moscou.
Z. I. BOREVITCH et I. R. CHAFAREVITCH, Préface

On peut s'étonner que les recueils de problèmes, avec solutions, soient si rares pour la géométrie et l'arithmétique.
Je regrette de ne plus voir dans le commerce le recueil de problèmes de géométrie qu'avait publié jadis M. Catalan. A la vérité, pour cette science, l'excellent petit livre de M. Petersen peut rendre des services inappréciables. Pour l'arithmétique, je n'en connais pas en France d'autre que le présent livre.
Je l'ai parcouru avec un vif intérêt : on y trouvera un grand nombre de questions sur les diverses parties de l'arithmétique, depuis la numération jusqu'à ces régions qui donnent accès dans la théorie des nombres.
Toutes ces questions sont instructives et beaucoup d'entre elles m'ont paru nouvelles et ingénieuses. On sent que l'auteur a mis une sorte de curiosité passionnée à les réunir. Les solutions sont simples et élégantes. Je crois que ce livre rendra de grands services aux élèves et aux maîtres, qui doivent à l'auteur pour l'avoir écrit d'autant plus de reconnaissance qu'il n'est plus professeur, et que le goût de la science l'a guidé, non des préoccupations de métier.
Jules TANNERY, Préface de la première édition

Ah ! Quel bon livre ! Comme il vient à son heure ! Et qu'il aurait plu à un grand mathématicien comme Henri Lebesgue ! Il faut remercier très vivement Monsieur Gerll et son éditeur d'avoir réuni pour un vaste public de langue française de tels documents !
On trouvera les textes des épreuves données aux Olympiades internationales de mathématiques des dernières années, avec des solutions de celles-ci ; mais on trouvera aussi des textes des Olympiades antérieures, enfin, et surtout un très grand choix de questions très diverses qui avaient été envisagées.
André MAGNIER, Préface

Le premier traité d'Arithmétique supérieure, où d'Arithmologie, a été publié à la fin du siècle dernier par Legendre, sous le titre : Essai sur la théorie des nombres, Paris, An VI [1798]. Cet excellent ouvrage renfermait non seulement tout ce qui était connu jusqu'alors sur cette science, et notamment les recherches d'Euler et de Lagrange, sur les théorèmes énoncés par Fermat, mais encore les nombreuses découvertes de l'illustre auteur, qui rendit de si grands services à l'Arithmétique. On lui doit le théorème fondamental qui porte son nom, c'est-à-dire la Loi de réciprocité des résidus quadratiques. Deux autres éditions, considérablement augmentées, ont été publiées de son vivant ; la troisiéme, définitive, en 1830.
Édouard LUCAS, Théorie des nombres, 1891

ARTICLES :

I-1 : PRINCIPES FONDAMENTAUX DE L'ARITHMÉTIQUE
H. Schubert - J. Tannery - J. Molk

I-2 : ANALYSE COMBINATOIRE ET THÉORIE DES DÉTERMINANTS
E. Netto - H. Vogt

I-3 : NOMBRES IRRATIONNELS ET NOTION DE LIMITE
A. Pringsheim - J. Molk

I-4 : ALGORITHMES ILLIMITÉS
A. Pringsheim - J. Molk

I-5 : NOMBRES COMPLEXES
E. Study - É. Cartan

I-6 : ALGORITHMES ILLIMITÉS DE NOMBRES COMPLEXES
A. Pringsheim - M. Fréchet

I-7 : THÉORIE DES ENSEMBLES
A. Schœnflies - R. Baire

i-8 : SUR LES GROUPES FINIS DISCONTINUS *
H. Burkhardt - H. Vogt

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

Il est à peine besoin de dire que le Théorème de Fermat dont il s'agit est celui qui est relatif à l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ et à son impossibilité en nombres entiers dès que n surpasse 2.
Ce livre va certainement rendre service aux Académies et Sociétés scientifiques diverses qui voient continuellement tomber sur leur bureau de prétendues démonstrations du diabolique théorème. Ces productions, dues à des arithméticiens d'occasion, pêchent d'abord, et très généralement, par un manque absolu d'érudition. Chacun essaie son petit truc sans paraître se douter de l'envergure prise par les infructueuses tentatives dues à de véritables savants. On peut espérer qu'un exposé comme celui de M. Noguès incitera davantage à la prudence.
Cet exposé est divisé en une partie historique et en une partie mathématique proprement dite, ce qui se comprend fort bien. L'histoire d'essais avortés peut être fort exacte et il valait mieux ne pas la confondre avec les essais eux-mêmes, brièvement reproduits, à grands traits, plutôt que discutés et analysés. C'eut été là, d'ailleurs, une tâche formidable pour laquelle il aurait fallu nombre de gros volumes.
Tous les essais que l'on peut qualifier de malheureux, du fait qu'ils n'ont pas atteint le but visé, ne sont point cependant regrettables en eux-mêmes. Chez les grands mathématiciens ils ont donné nombre de résultats de haute valeur aidant à constituer l'Arithmétique supérieure, la Théorie des Nombres algébriques et celle des Idéaux.
Parmi les auteurs tentés par le sujet citons Euler, Legendre, Abel, Lejeune-Dirichlet, Libri, Kummer, Lamé, Lebesgue (1840), Liouville, Cauchy, Kronecker, Genocchi, Korkine, E. de Jonquières, Catalan, Mansion, Mathews, Mirimanoff, Smith, Maillet, Hurwitz, Dickson, Wieferich, Fleck, Gouy, Fabry, Vandiver, Pomey, Mordell.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique 31 (1932) 

A reparaître

Les recherches et les publications de Henri Poincaré sur l'Algèbre et l'Arithmétique sont très diverses. Certaines se rattachent à des travaux contemporains d'Arithmétique qu'il a enrichis de méthodes et d'idées nouvelles.
C'est ainsi qu'un grand nombre de ses Notes et de ses Mémoires ont été inspirés par des travaux, des exposés ou des méthodes de Clebsch, Steiner,Lie, Sylvester, Laguerre, Appell, Hill, Hadamard, Gauss, Bravais, Eisenstein, Hermite, Selling, Korkine et Zolotareff, Lejeune Dirichlet, Kummer, Dedekind, Jordan, Tchebicheff, Fredholm, etc...
D'autres concernent des applications à l'arithmétique de ses découvertes d'analyse, mais aussi l'utilisation de l'arithmétique dans la construction de cette analyse. C'est le cas pour les études sur les invariants arithmétiques, sur les groupes fuchsiens, dont certains qualifiés arithmétiques sont engendrés par des substitutions automorphes de formes quadratiques, sur les fonctions fuchsiennes définies par ces groupes arithmétiques et qui ont un théorème d'addition ; sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques. On sait notamment que ce dernier travail a été l'origine de nombreuses recherches ultérieures.
Albert CHÂTELET, Note