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Topologie - Mesure - Intégration

 

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La topologie générale ne constitue un corps de doctrine cohérent que depuis un demi-siècle ; elle est l'aboutissement d'un mouvement d'idées qui remonte à l'antiquité.
Les notions de limite et de continuité s'imposèrent aux mathématiciens grecs dès qu'ils tentèrent de préciser la notion de nombre. Il fallut ensuite attendre Cauchy (1821) et Abel (1823) pour que se clarifient les notions de suite et de séries convergentes, et celle de fonction continue.
Avec Riemann (1851) le cadre s'élargit ; dans sa leçon inaugurale « Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie », il trace un programme grandiose : L'étude de « la notion générale de grandeur plusieurs fois étendue », entendant par là non seulement les variétés à un nombre quelconque de dimensions, mais ausse les espaces de fonctions et d'ensembles.
Mais un tel programme ne pouvait être réalisé sans une meilleure connaissance de la droite réelle (Dedekind) et des fonctions numériques (Riemann, Weierstrass), ni surtout sans un langage à la fois précis et général ; c'est Cantor (1873) qui créa ce langage et ouvrit la porte d'un monde nouveau.
Une période héroïque et féconde commence alors. Malgré l'opposition de mathématiciens hostiles aux nouvelles idées, les découvertes se succèdent, particulièrement en France (Poincaré, Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue), et en Allemagne (Klein, Mittag-Leffler). On en vient rapidement à étudier des fonctions de lignes, et à créer une analyse fonctionnelle (Ascoli, Volterra, Hilbert), qui est un début de réalisation du programme de Riemann.
Mais à nouveau se manifeste le besoin d'un langage et d'un cadre adapté à ces recherches : Les espaces métriques, définis par Fréchet, fournissent un outil essentiel pour l'étude de la continuité uniforme et de la convergence uniforme, et commode aussi pour l'étude des structures topologiques. Hausdorff, enfin, parvient à dégager d'une jungle d'axiomes, un système axiomatique simple, qui est la pierre angulaire de la topologie générale actuelle.

Gustave CHOQUET, Cours d'Analyse, tome II, Topologie, Masson, 1964


Document sans nom

Après Cauchy et Riemann, durant la seconde moitié du XIXe siècle, de nombreuses définitions de l'intégrale ont été successivement proposées pour les fonctions bornées ainsi que pour celles non bornées. Mais ce n'est qu'au commencement du XXe siècle, en 1902, que Henri Lebesgue a introduit dans sa Thèse Intégrale, Longueur, Aire, une notion d'intégrale qui devait changer l'aspect de toute une foule de problèmes dépendant de l'intégration.
Dans la Thèse de Lebesgue et dans ses Leçons sur l'intégration, professées au Collège de France, qui la suivirent, la route conduisant aux résultats est encore assez ardue ; des années allaient passer avant que les contemporains s'habituent aux méthodes nouvelles. Pendant ces années on s'est efforcé d'arriver au même but par des routes plus commodes et cela en remplaçant la définition primitive par d'autres, permettant, comme le dit de La Vallée Poussin, de faire entrer, si possible, la nouvelle théorie dans l'enseignement classique.

Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY, Leçons d'analyse fonctionnelle, 3e éd., 1955

 

 



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Le livre de Baire est à notre avis une vraie merveille mathématique, il sera traduit en russe par Hintchine en 1932 et Gustave Choquet le découvrira à la bibliothèque de l'École Normale et en deviendra « amoureux ».
Pierre LELONG

17,00 *
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S. Banach publie, en 1932, son livre sur la Théorie des opérations linéaires, le livre de chevet de toute une génération de mathématiciens. Banach introduit les mots « espace vectoriel normé » et « espaces de type (B) » qui sont des espaces vectoriels normés complets et qu'on désigne aujourd'hui par « espaces de Banach ».

Pierre DUGAC, Histoire des espaces complets, Revue d'Histoire des Sciences, 1984, vol. 37

30,00 *
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Sommaire

- Notions générales sur les ensembles.
- Les nombres algébriques et l'approximation des incommensurables.
- Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables.
- Le prolongement analytique.
- Sur la convergence de certaines séries réelles.
- La notion de fonction d'une variable complexe.
Notes
- La notion de puissance.
- La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième classe.
- La notion de fonction en général.
- Les polémiques sur le transfini et sur la démonstration de Zermelo.
- Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.
- La théorie de la mesure et la théorie de l'intégration.
- Pour ou contre la logique empirique.
- L'axiome du choix et les définitions asymptotiques.

54,00 *
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Entre ces domaines des mathématiques, profondément étrangers l'un à l'autre : d'une part l'Analyse classique, où les fonctions sont continues et dérivables autant que les démonstrations d'énoncés visant à la généralité l'exigent, et où les champs décrits par les variables sont des régions continues limitées par des frontières régulières ; d'autre part les théories d'Analyse générale et de Topologie moderne, où les espaces sont des collections d'éléments quelconques, parfois totalement dissociés, soumis à des conditions de nature arbitraire, entre ces deux mondes d'idées sans contacts mutuels, une transition manque à l'étudiant : celle de la théorie des fonctions de variables réelles et celle des ensembles ponctuels où ces fonctions prennent leurs caractères.
Les notions toutes descriptives, crées par Cantor pour distinguer des espèces remarquables parmi les ensembles, fermés, parfaits, réductibles, denses, etc., concernaient dans l'esprit de l'auteur uniquement les espaces cartésiens, et même originairement linéaires. Les notions de puissance, de transfini, s'illustraient grâce à ces ensembles ponctuels. Toute la fécondité de ces conceptions se révéla quand Borel, Baire et Lebesgue, le second exclusivement topologue comme Cantor, les deux autres surtout intéressés à la métrique, créèrent la théorie des fonctions discontinues des variables réelles. Les magnifiques écoles polonaise et moscovite fouillèrent ensuite profondément le même terrain.
Il faut avoir pénétré l'esprit des méthodes propres au réel et connaître les principaux résultats acquis dans cet ordre si l'on veut non seulement disposer des ressources de figuration nécessaires à la pleine intelligence de la Topologie abstraite, mais simplement étudier avec fruit les singularités présentées par les fonctions analytiques ou par les intégrales des équations aux dérivées partielles, aux limites où les solutions cessent d'exister.
Il m'a souvent été rapporté que, pour acquérir cette expérience, la lecture de mon Mémoire de jadis Sur la dérivation et son calcul inverse avait servi de fructueux exercices. Ce travail fut publié en quatre parties, successivement parues dans des périodiques différents.
[...]
Bien que, dans mon exposé, j'ai repris à pied d'œuvre tout ce qui, vers 1914, pouvait être ignoré d'un étudiant de licence, le recours aux Leçons sur les fonctions discontinues de Baire, et aux Leçons sur l'intégration de Lebesgue, maintes fois citées, ne sera pas inutile. Enfin, le présent mémoire trouve son prolongement naturel dans mes Leçons sur le calcul des coefficients d'une série trigonométrique.
Arnaud DENJOY, Avertissement

69,00 *
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Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

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Avec le chapitre XI, les chapitres XIII à XV peuvent, dans ce Traité, être groupés en un "bloc d'Analyse fonctionnelle linéaire". En simplifiant à l'extrême, on peut dire en effet que les chapitres XIII et XIV étudient en détail un des types les plus importants de "formes linéaires", l'intégrale envisagée d'un point de vue général, qui est à l'Analyse ce que la notion de somme finie est à l'Algèbre ; tandis que le chapitre XV, approfondissant les idées introduites au chapitre XI sous un aspect plus élémentaire, s'appuie sur l'outil puissant fourni par l'intégrale pour analyser les opérateurs linéaires et leur spectre : on y observera le rôle prépondérant qu'y joue un des concepts algébriques de base, la notion d'anneau, qui jusque là n'était intervenue que sporadiquement en Analyse.

Le cadre de ces chapitres demeure encore assez abstrait, bien qu'on ait cherché à donner de nombreux exemples d'applications dans les problèmes ; les grandes théories de l'Analyse plus "concrète" auxquelles ils préparent font l'objet des chapitres XXI à XXIII.
Les notions élémentaires d'Analyse fonctionnelle introduites aux chapitres III, V, VI et VII ne sont plus tout à fait suffisantes pour les besoins des chapitres XIII à XV ; aussi a-t-on groupé en un chapitre XII les compléments nécessaires ; on y a aussi inséré les rudiments de la théorie des groupes topologiques, qui va intervenir de façon essentielle à partir du chapitre XVI.
Jean DIEUDONNÉ

65,00 *
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Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rn, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.
Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.
Jean DIEUDONNÉ

 

Référence: 214

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Le chapitre XVIII est le dernier des trois chapitres qui posent les bases de l'Analyse sur les variétés différentielles, en précisant ce qu'il faut entendre dans cette théorie par équation différentielle ou aux dérivées partielles. Déjà dans les espaces Rn, il est clair que la notion classique d'équations aux dérivées partielles est liée au système d'axes choisi, et cela n'a pas laissé de causer bien des difficultés aux mathématiciens qui, au XIXe siècle, ont cherché à classer les équations aux dérivées partielles suivant leurs propriétés, même du point de vue purement local. Ce n'est qu'en ne perdant jamais de vue le sens géométrique d'un système différentiel (donnée d'un "élément tangent" en chaque point) qu'on a pu, à la suite de Élie Cartan, parvenir à des conceptions pleinement satisfaisantes à ce sujet ; la théorie générale est d'ailleurs loin d'être achevée, et nous n'en donnons que les premiers rudiments.
C'est également le point de vue local qui prédomine dans les chapitres XIX et XX, où sont exposés les premiers résultats d'Analyse "intrinsèque". Le chapitre XIX est entièrement consacré à l'exploitation de l'idée fondamentale de Lie, l'existence d'un "dictionnaire" qui traduit en termes algébriques les propriétés infinitésimales d'un groupe de Lie. La méthode suivie diffère un peu de la plupart des exposés, en prenant d'emblée comme objet algébrique fondamental l'algèbre de tous les opérateurs différentiels invariants par translation à gauche, d'ordre quelconque. Cela a l'avantage de faire correspondre à une structure associative une autre qui l'est également ; le fait (spécial à la caractéristique 0) que la connaissance des opérateurs invariants d'ordre 1 et de leur structure d'algèbre de Lie détermine tous les autres, n'est présenté que postérieurement, fournissant d'ailleurs aussitôt l' "algèbre enveloppante" dont on donne souvent une définition abstraite tout à fait inutile
La plus grande partie du chapitre XX est elle aussi consacrée à une étude locale, celle des variétés riemanniennes, envisagée dans le contexte plus général des "G-structures", forme moderne de la méthode du "repère mobile" de Élie Cartan, qui exploite la richesse de la structure d'espace fibré principal, grâce à la théorie de Lie
On a toutefois pu aborder dans les chapitres XVIII et XX un aspect de la géométrie différentielle "globale", l'étude des géodésiques d'une connexion inaugurée par Jacobi, qui constitue la partie la plus élémentaire du Calcul des variations.
Jean DIEUDONNÉ

 

63,00 *
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Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique. 
Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).
Jean DIEUDONNÉ

 

46,00 *
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On entend de nos jours par Analyse harmonique (commutative) la généralisation aux groupes commutatifs localement compacts de la théorie classique des séries et intégrales de Fourier, qui correspondent au cas des groupes Rn, Tn et Zn. Bien que, dans la suite de ce Traité, ce soit cette théorie classique qui est presque constamment utilisée, notamment comme outil fondamental dans la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles (chap. XXIII), la théorie générale de l'Analyse harmonique a aujourd'hui tant d'autres applications, notamment en Arithmétique, qu'il serait contraire à l'esprit des mathématiques de notre temps de se borner au cadre classique de la théorie de Fourier, qui masque la nature des idées essentielles dominant l'Analyse harmonique, comme celle de convolution ou celle de fonction de type positif.
En fait, ces idées ont une portée bien plus grande encore, car elles se rattachent en réalité à la théorie générale des représentations linéaires (de dimension infinie) des groupes localement compacts quelconques, dite encore Analyse harmonique non commutative. Sans pouvoir aborder dans cet ouvrage l'essentiel d'une théorie aussi difficile, on en a cependant traité un aspect particulier, la théorie élémentaire des fonctions sphériques ; grâce à un théorème fondamental de Gelfand, elle repose en réalité sur une étude d'algèbres de fonctions involutives et commutatives, bien que liée aux représentations linéaires de groupes non commutatifs. Non seulement cette théorie englobe-t-elle celle de nombreuses "fonctions spéciales" et met-elle en lumière la notion essentielle de représentation induite, mais elle permet de mieux comprendre la nature de la "dualité de Pontrjagin" qui caractérise le cas particulier des groupes commutatifs
La dernière partie du chapitre revient à la transformation de Fourier classique, mais étendue aux distributions tempérées sur Rn ou In. C'est seulement dans ce cadre que disparaissent les aspects "pathologiques" de la théorie classique, trop étroitement liée à la notion de convergence "ponctuelle", alors que c'est en fait dans l'application de la transformation de Fourier à la théorie des opérateurs différentiels et à leurs généralisations que réside son principal intérêt en Analyse moderne.
Jean DIEUDONNÉ

 

45,00 *
Référence: 217

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Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
Jean DIEUDONNÉ

 

54,00 *
Référence: 218

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Pour les équations paraboliques ou strictement hyperboliques, on n'a envisagé que le problème de Cauchy local, ou le cas où les données de Cauchy sont portées par une variété compacte sans bord ; et pour les équations elliptiques, hormis le cas particulier des équations différentielles ordinaires, on ne s'est guère occupé que du problème de Dirichlet dans un ouvert borné de Rn et des problèmes aux limites de même type. Par contre, dans ce domaine volontairement restreint, l'auteur n'a accordé aucune place privilégiée aux équations à coefficients constants ni aux équations du second ordre (à l'exception d'une section sur le principe du maximum). Il a surtout voulu montrer comment l'usage systématique des opérateurs de Lax-Maslov et des opérateurs pseudo-différentiels, conjugués, dans le cas des équations elliptiques, avec la théorie spectrale des opérateurs dans les espaces hilbertiens, conduit à des méthodes de solution beaucoup plus naturelles et explicites que les méthodes basées sur les "inégalités a priori", et donne directement (lorsque toutes les données sont indéfiniment différentiables) de vraies solutions indéfiniment différentiables, et non des solutions "faibles" inutilisables dans les applications.
Jean DIEUDONNÉ

 

57,00 *
Référence: 219

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Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.
Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.

Jean DIEUDONNÉ
 

61,00 *
Référence: 012

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Dans ce livre on étudie, sous le nom d'Algèbres de von Neumann, les algèbres communément appelées « anneaux d'opérateurs » ou « W*-algèbres ». La nouvelle terminologie, suggérée par Jean Dieudonné, est amplement justifiée du point de vue historique.
Certains des résultats sont valables pour des algèbres plus générales. Mais on a systématiquement évité ce genre de généralisation (sauf lorsque cela facilitait l'étude des algèbres de von Neumann elles-mêmes). Les chapitres I et II groupent les résultats qui semblent, à l'heure actuelle, les plus utiles pour les applications (mais on n'aborde pas l'étude de ces applications). Le chapitre III, plus technique, est destiné surtout aux spécialistes ; il est pratiquement indépendant du chapitre II.
Jacques DIXMIER, Introduction

54,00 *
Référence: 013

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Soient H un espace hilbertien, L(H) l'ensemble des opérateurs linéaires continus dans H. Considérons un sous-ensemble A de L(H), stable pour l'addition, la multiplication, le produit par les scalaires, et l'adjonction ; supposons A fermé au sens de la norme des opérateurs. Alors A est une algèbre de Banach involutive d'un type particulier. Une telle algèbre s'appelle une C*-algèbre.
La théorie commença en 1943, lorsque Gelfand et Naimark eurent montré que, parmi les algèbres de Banach involutives, les C*-algèbres peuvent être caractérisées par des axiomes simples. On s'aperçut ensuite que les C*-algèbres jouent un rôle universel pour l'étude des représentations d'une classe très vaste d'algèbres de Banach involutives ; pour toute algèbre B de cette classe, on peut construire une C*algèbre A telle que les représentations de B dans un espace hilbertien s'identifient aux représentations de A. Pour beaucoup de questions (notamment celles qui font intervenir les idéaux), A est plus maniable que B. En particulier cette construction s'applique quand on prend pour B l'algèbre des fonctions intégrables sur un groupe localement compact G. On ramène ainsi l'étude des représentations unitaires de G à celle des représentations d'une certaine C*-algèbre, appelée C*-algèbre de G.
L'étude des C*-algèbres occupe presque les quatre cinquièmes de ce livre. On y expose les résultats principaux, dus notamment aux travaux de Fell, Glimm, Kadison, Kaplansky, Mackey, Segal et d'autres. Il m'a paru dommage de ne pas profiter du matériel ainsi accumulé et du matériel contenu dans mon livre sur les algèbres de von Neumann pour dire quelques mots des représentations unitaires des groupes. Ceci était d'autant plus indiqué que la théorie des groupes fournit les exemples les plus intéressants de C*-algèbres.
Jacques DIXMIER, Introduction

57,00 *
Référence: 014

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L'étude des algèbres enveloppantes repose bien entendu sur une connaissance assez approfondie des algèbres de Lie. D'autre part, certaines propriétés des algèbres de Lie s'établissent commodément par l'emploi des algèbres enveloppantes ; dans ce livre, il importe d'exploiter cette possibilité. Mais le lecteur peut alors avoir l'impression d'un cercle vicieux. C'est pourquoi on établit au chapitre 1, par les méthodes les plus banales, les propriétés des algèbres de Lie nécessaires pour la suite. (On est passé assez vite sur les premières démonstrations : ce livre ne doit pas être considéré comme une introduction aux algèbres de Lie. Toutefois, comme les propriétés des systèmes de racines ne reposent évidemment pas sur la théorie des algèbres de Lie, on s'est contenté de rappeler en appendices, sans démonstration, celles de ces propriétés qui sont indispensables).
Le chapitre 2 introduit les personnages principaux : les algèbres enveloppantes. Pour étudier leurs idéaux primitifs, il faut certaines informations concernant leurs idéaux bilatères quelconques : c'est l'objet du chapitre 3. Le chapitre 4 considère l'un des ponts (ce n'est pas le seul) entre les algèbres enveloppantes et les algèbres commutatives, à savoir les centres des algèbres enveloppantes, de leurs quotients, de leurs anneaux de fractions.
C'est principalement grâce à la notion de représentation induite et à ses variantes qu'on sait construire des représentations simples des algèbres de Lie, donc des idéaux primitifs des algèbres enveloppantes. Cette notion est étudiée au chapitre 5.
Les outils principaux sont alors en main. Au chapitre 6, on détermine tous les idéaux primitifs de U(g) quand g est résoluble et le corps de base algébriquement clos. On utilise pour cela la méthode des orbites, introduite par A. A. Kirillov à propos des groupes de Lie nilpotents.
Les chapitres 7, 8 et 9 concernent le cas où g est semi-simple. Aux chapitres 7 et 9, on étudie des représentations simples particulières, liées au chois d'une sous-algèbre de Cartan (chap. 7), ou d'une décomposition symétrique (chap. 9). Au chapitre 8, on détermine entre autres choses les idéaux primitifs minimaux de U(g) pour un corps de base algébriquement clos. Ces chapitres laissent beaucoup à désirer : d'une part, bien des problèmes restent à résoudre ; d'autre part, certains résultats importants n'ont pu être établis ici parce qu'ils reposent sur des méthodes non algébriques. On peut espérer que cette situation s'améliorera dans un proche avenir.
Le chapitre 10 repose sur l'ensemble des chapitres 1 à 8. Si g est une algèbre de Lie quelconque sur un corps algébriquement clos, il est probable que la méthode des orbites s'applique encore sous une forme convenable. On réussit en tous cas à construire une vaste famille d'idéaux primitifs de U(g) attachés aux formes linéaires « régulières » sur g.
Jacques DIXMIER, Introduction

52,00 *
Référence: 056

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A diverses occasions, l'auteur a pu enseigner l'Analyse générale à des étudiants qui n'étaient pas tous au courant des conceptions modernes de la théorie des fonctions et de la théorie des ensembles.
Fort de cette expérience, nous avons pensé qu'il valait mieux ne pas suivre dans ce volume un ordre purement logique. Au lieu de mettre un lecteur peu familiarisé avec la théorie des variables abstraites, en présence d'une multiplicité d'idées nouvelles d'inégale importance, nous avons cherché à sérier les difficultés.
Nous nous sommes donc attaché d'abord à introduire et à appliquer celles de ces idées nouvelles qui sont les plus fécondes et se présentent le plus naturellement. Au premier rang se place la conception des espaces où la limite peut être définie au moyen d'une distance, c'est à dire des « espaces (D) ». C'est donc sur cette généralisation des espaces à n dimensions que nous avons insisté tout d'abord. Mais, précisément pour montrer que cette notion permet d'aborder des espaces qui sont plus complexes que les espaces à un nombre fini de dimensions, nous avons été amené aussi à introduire et à généraliser dès le début la notion de nombre de dimensions. C'est dons l'application de ces deux idées nouvelles : généralisation de la notion de distance, généralisation de la notion de nombre de dimensions qui occupera la première Partie de cet Ouvrage.
Une fois le lecteur familiarisé par ce moyen avec le maniement des ensembles d'éléments de nature quelconque, il lui sera ensuite plus facile d'aborder dans la seconde Partie l'étude d'espaces abstraits plus généraux.
Maurice FRÉCHET, Préface

43,00 *
Référence: 304

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La Topologie combinatoire a donné naissance à un grand nombre d'ouvrages dont la plupart sont écrits en langues étrangères. Ce seul fait suffirait à motiver la publication du présent volume. Mais s'il a vu le jour, c'est parce que j'avais été frappé du mode d'exposition presque universellement dogmatique adopté dans les ouvrages existant sur ce sujet. Bien souvent, les définitions y sont introduites brusquement sous leur forme la plus abstraite sans que l'auteur prenne la peine d'en indiquer l'origine ni le but. Je dois reconnaître qu'un tel mode d'exposition a de grands avantages au point de vue de la brièveté et de la précision. Mais il se trouve qu'une bonne partie de la topologie combinatoire peut être comprise sans connaissances mathématiques étendues préalables et même par des élèves de l'enseignement secondaire. Pour de tels lecteurs, une exposition dogmatique est rebutante et un auteur qui s'adresse à eux doit chercher avant tout à intéresser plus qu'à démontrer, car aucun examen portant sur la topologie n'est là pour contraindre le lecteur à un grand effort d'attention.
Maurice FRÉCHET, Préface

 

 

24,00 *
Référence: 206

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Plus de 200 exercices et problèmes d'intégration, regroupés en 11 chapitres, constituent cet ouvrage. Pour la majorité d'entre eux, ces exercices sont du niveau de la maîtrise de mathématiques. Néanmoins, un certain nombre est destiné aux étudiants de 3ème cycle, aux candidats à l'agrégation ou aux chercheurs souhaitant affronter de plus grandes difficultés ou compléter leurs connaissances sur tel point de théorie.
Immédiatement suivis de leur solution détaillée et soigneusement élaborée, les énoncés des exercices sont pour certains classiques, pour d'autres moins connus, pour d'autres enfin, originaux.
L'ouvrage s'ouvre par une trentaine de pages de rappels de cours précisant, à l'intention de l'étudiant, les points de la théorie qui sont supposés connus.

69,00 *
Référence: 141

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Cet ouvrage est un manuel très complet sur les diverses branches de la topologie (topologie générale, topologie algébrique).
Il contient en outre, à la fin du volume I une note de A. Mostowski : Quelques applications de la Topologie à la Logique mathématique.
M. BARBUT, Topologie générale et Algèbre de Kuratowski, Mathématiques et sciences humaines, t. 12 (1965)

90,00 *
Référence: 159

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Nous avons traité, dans cette nouvelle édition, les mêmes matières que dans la première et dans le même ordre. Mais nous avons ajouté, hors cadre à la fin du Volume, deux Notes substantielles : l'une, assez étendue, sur la représentation paramétrique des ensembles mesurables (B), l'autre, plus courte, sur les extensions de l'intégrale de Stieltjes. Ce ne sont que des exposés fragmentaires et, s'ils peuvent nous suffire, c'est que deux monographies, récemment parues, comblent les lacunes de ces exposés : la deuxième édition des Leçons sur l'intégration de M. H. Lebesgue (1928) et les Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications de M. N. Lusin (1930). Le lecteur pourra y étudier, avec tous les développements qu'elles comportent, les belles questions que nous n'aurons fait qu'effleurer.
Ainsi, sauf l'addition de quelques compléments nécessaires, cette deuxième édition reste voisine de la première par le fond, mais elle a subi, en divers endroits, quelques remaniements de forme assez importants, tous dus à la même préoccupation, celle d'accentuer le plus possible le caractère réaliste des énoncés et des démonstrations. J'ai voulu prévenir toute possibilité d'interprétation idéaliste, proscrire tout recours, fût-il seulement apparent, à l'axiome du choix et ne fonder les démonstrations d'existence que sur des procédés de construction effectifs rigoureusement précisés. Cela correspond sans doute à une certaine évolution dans mes idées, mais je me suis abstenu de tout commentaire philosophique. Je n'aurais, en effet, rien à ajouter à ceux que l'on trouvera dans les Ouvrages de MM. Lebesgue et Lusin que j'ai déjà cités, auxquels il convient, sous ce rapport, de joindre un troisième Volume, les Leçons sur les nombres transfinis de M. W. Sierpinski (1928).
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface de la deuxième édition

21,00 *
Référence: 059

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Suivant en cela l'exemple donné par M. Borel, j'ai rédigé ces Leçons sans supposer au lecteur d'autres connaissances qu celles qui font partie du programme de licence de toutes les Facultés ; je pourrais même dire que je ne suppose rien de plus que la connaissance de la définition et des propriétés les plus élémentaires de l'intégrale des fonctions continues. Mais, s'il n'est pas indispensable de connaître beaucoup de choses avant de lire ces Leçons, il est nécessaire d'avoir certaines habitudes d'esprit, il est utile de s'être déjà intéressé à certaines questions de la théorie des fonctions. Un lecteur parfaitement préparé serait celui qui aurait déjà lu l'Introduction à l'étude des fonctions d'une variable réelle, de M. Jules Tannery, et les Leçons sur la théorie des fonctions, de M. Émile Borel
[...]
Pour la rédaction, j'ai eu surtout recours aux Mémoires originaux ; je dois cependant signaler, comme m'ayant été particulièrement utiles, outre les deux Ouvrages précédemment cités, les Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali, de M. Ulisse Dini, et le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, de M. Camille Jordan. Enfin j'ai à remercier M. Borel des conseils qu'il m"a donnés au cours de la correction des épreuves.
Henri LEBESGUE, Préface de la première édition, 1904

 

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Référence: 125

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Les questions traitées dans cet Ouvrage appartiennent à la théorie descriptive des fonctions dont MM. Borel, Baire et Lebesgue sont les fondateurs. Je me suis proposé, d'une part, de continuer et d'étendre les recherches de M. R. Baire arrêtées à l'étude des fonctions de classe 3. J'ai, d'autre part, cherché à étudier des familles d'ensembles de points qui sont au delà de la classification de Baire. Cette étude s'est heurtée à des difficultés qui débordent la technique ordinaire de la théorie des ensembles, et qui sont visiblement liées aux controverses sur le continu considéré du point de vue arithmétique. C'est ici que nous pénétrons pratiquement dans le domaine des idées de M. É. Borel.
Ainsi, pendant mes recherches, je me suis placé sur le terrain des idées de M. É. Borel, idées qui m'ont aidé à m'orienter dans mes travaux et ont toujours guidé mon choix sur leur direction. Et en même temps ce sont les travaux de M. H. Lebesgue qui m'ont fourni la matière même de mes recherches. Son célèbre Mémoire Sur les fonctions représentables analytiquement est non seulement le point de départ de mon travail ; mais il est si étroitement lié à cet Ouvrage que ce dernier peut être considéré simplement comme un développement sur quelques points de ce Mémoire. Un autre point du Mémoire de M. H. Lebesgue, bien plus difficile que ceux traités ici et cependant encore plus important, est signalé à la fin de ce Livre.
Enfin, il ne m'est pas possible de passer sous silence les travaux synthétiques fondamentaux de M. Ch. de La Vallée Poussin et les recherches si importantes de M. A. Denjoy sur les ensembles clairsemés. Ces dernières recherches ont servi de base à mes études sur les classes supérieures de la classification de Baire.
Nicolas LUSIN, Avertissement

60,00 *
Référence: 176

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Une méthode qui nous ferait connaître les relations qualitatives dans l'espace à plus de trois dimensions pourrait, dans une certaine mesure, rendre des services analogues à ceux que rendent les figures. Cette méthode ne peut être que l'Analysis situs à plus de trois dimensions. Malgré tout, cette branche de la Science a été jusqu'ici peu cultivée. Après Riemann est venu Betti qui a introduit quelques notions fondamentales ; mais Betti n'a été suivi par personne. Quant à moi, toutes les voies diverses où je m'étais engagé successivement me conduisaient à l'Analysis situs. J'avais besoin des données de cette Science pour poursuivre mes études sur les courbes définies par les équations différentielles et pour les étendre aux équations différentielles d'ordre supérieur et, en particulier, à celles du problème des trois corps. J'en avais besoin pour l'étude des fonctions non uniformes de deux variables. J'en avais besoin pour l'étude des périodes des intégrales multiples et pour l'application de cette étude au développement de la fonction perturbatrice. Enfin, j'entrevoyais dans l'Analysis situs un moyen d'aborder un problème important de la théorie des groupes, la recherche des groupes discrets ou des groupes finis contenus dans un groupe continu donné. 
Henri POINCARÉAnalyse de ses travaux scientifiques, Acta Mathematica, t. 38, 1921

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Référence: 078

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Le présent ouvrage développe les leçons que les deux auteurs ont professées au cours de plusieurs années aux Universités de Szeged et de Budapest sous les titres "Fonctions réelles", "Équations intégrales", "Espace de Hilbert", etc. Le premier manuscrit a été achevé en 1948, mais des difficultés techniques en ayant retardé l'impression on y a ajouté dans l'entre-temps quelques paragraphes traitant des résultats les plus récents.
La première partie, sur les théories modernes de la dérivation et de l'intégration, sert d'introduction à la seconde, qui traite des équations intégrales et des fonctionnelles et transformations linéaires. Cette division en deux parties correspond d'ailleurs à la division du travail entre les deux auteurs : Quoiqu'ils aient travaillé ensemble, la première partie a été rédigée principalement par le premier, et la seconde par le second auteur.
Les deux parties forment une unité organique et se groupent autour de l'idée d'opération linéaire. C'est cette idée qui se reflète aussi dans la méthode selon laquelle on édifie la théorie de l'intégrale de Lebesgue ; cette méthode, qui nous paraît plus simple et plus claire que celle fondée sur la mesure, a été utilisée par le premier auteur dans ses cours depuis plus d'une vingtaine d'années, sans être publiée sous sa forme définitive.
La première partie commence par une démonstration directe du théorème de Lebesgue sur la dérivation des fonctions monotones, et on l'applique en particulier à l"étude des relations entre dérivées et intégrales des fonctions d'intervalle. On édifie ensuite la théorie de l'intégrale de Lebesgue et l'on étudie les espaces L2 et Lp et leurs fonctionnelles linéaires. L'intégrale de Stieltjes et ses généralisations sont introduites en termes d'opérations linéaires de l'espace des fonctions continues.
La seconde partie commence par un chapitre sur les équations intégrales, dont la théorie a préparé la voie à la théorie générale des transformations linéaires. On expose plusieurs méthodes pour arriver à l'alternative de Fredholm et on les applique dans le chapitre suivant aux équations fonctionnelles complètement continues, de type général, de l'espace de Hilbert ou d'un espace de Banach. Les transformations linéaires complètement continues symétriques sont étudiées dans un chapitre séparé.
On développe ensuite la théorie spectrale des transformations auto-adjointes, bornées et non bornées, de l'espace de Hilbert. On envisage aussi le problème des prolongements des transformations symétriques non bornées. Un chapitre particulier est consacré aux fonctions des transformations auto-adjointes, ainsi qu'à l'étude du spectre et de ses perturbations. Le théorème de Stone sur les groupes de transformations unitaires et des théorèmes voisins, ainsi que certains théorèmes ergodiques, font l'objet d'un autre chapitre.
Le dernier chapitre jette un coup d'œil sur les débuts, encore fragmentaires, de la théorie spectrale des transformations linéaires non nécessairement normales ; on trouve ici la méthode reposant sur le calcul des résidus, ainsi qu'une étude des résultats tout récents de John von Neumann sur les ensembles spectraux.
Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY, Avant-Propos

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