Le livre de Baire est à notre avis une vraie merveille mathématique, il sera traduit en russe par Hintchine en 1932 et Gustave Choquet le découvrira à la bibliothèque de l'École Normale et en deviendra « amoureux ».
Pierre LELONG

Sommaire

- Notions générales sur les ensembles.
- Les nombres algébriques et l'approximation des incommensurables.
- Les ensembles parfaits et les ensembles mesurables.
- Le prolongement analytique.
- Sur la convergence de certaines séries réelles.
- La notion de fonction d'une variable complexe.
Notes
- La notion de puissance.
- La croissance des fonctions et les nombres de la deuxième classe.
- La notion de fonction en général.
- Les polémiques sur le transfini et sur la démonstration de Zermelo.
- Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques.
- La théorie de la mesure et la théorie de l'intégration.
- Pour ou contre la logique empirique.
- L'axiome du choix et les définitions asymptotiques.

Le premier volume de ce Traité a pour but d' exposer de la manière la plus simple les notions élémentaires sur lesquelles repose toute l'Analyse moderne : calcul booléien, nombres réels, espaces métriques et espaces de Banach, calcul différentiel, fonctions analytiques. Sur cette base, les volumes suivants développent, d'une part ce qu'on peut appeler "l'Analyse sur les espaces vectoriels" (chapitres XIII à XV, XXII et XXIII), de l'autre "l'Analyse globale" ou "Analyse sur les variétés" (chap. XVI à XXI et XXIV), non sans interactions réciproques, bien entendu. La conception qui domine ce volume a été de reporter aux volumes suivants toutes les notions secondaires nécessaires au développement de ces théories plus avancées, en se limitant au strict minimum, de manière à mettre en valeur les idées les plus fondamentales (comme celles d'espace compact, d'espace complet et d'espace connexe) et à en faciliter l'assimilation. Mises à part les règles de la logique et les propriétés usuelles des entiers naturels, toute l'Analyse est reprise à la base et n'exige en principe aucune connaissance préliminaire ; quant aux notions d'Algèbre nécessaires, en dehors des définitions les plus élémentaires (groupe, anneau, idéal, corps), elles sont introduites au fur et à mesure dans une Annexe. Toutefois, il n'est pas conseillé d'aborder la lecture de ce volume sans avoir bien assimilé les mathématiques enseignées dans le Premier cycle de l'Université.

Jean DIEUDONNÉ
 

Avec le chapitre XVI commence ce que l'on s'accorde à considérer comme le cœur de l'Analyse moderne, l' "Analyse sur les variétés", ou "Analyse globale", dont l'étude des aspects les plus accessibles forme l'objet du reste de ce Traité. Malheureusement, avant d'aborder les problèmes principaux de cette branche des mathématiques, il est encore nécessaire de forger les outils permettant de les attaquer.
Les concepts essentiellement linéaires de l'Analyse classique dans les espaces Rⁿ, développés aux chapitres VII à X, sont en effet inadéquats pour travailler dans les variétés différentielles ; ou plutôt, il faut commencer par les adapter au fait que l'aspect "linéaire", s'il demeure fondamental, est maintenant uniquement local ; il faut donc se garder de l'utilisation de "cartes" tant qu'on ne s'est pas assuré que les notions que l'on étudie sont intrinsèques, c'est à dire indépendantes du choix des cartes. Les chapitres XVI à XVIII sont donc consacrés à rendre "intrinsèques" les concepts classiques des chapitres VIII à X ; dérivées, dérivées partielles, équations différentielles, etc.
Chemin faisant, on élargira au chapitre XVII la théorie de l'intégrale : cette dernière ne nécessite à la base qu'une structure assez pauvre, celle d'espace localement compact ; lorsqu'on dispose d'une structure beaucoup plus riche comme celle de variété différentielle, on peut développer une théorie plus vaste, celle des distributions, qui complète harmonieusement l'intégration à bien des égards et joue un rôle capital dans l'Analyse contemporaine, comme on pourra le voir aux chapitres XXII et XXIII.
Jean DIEUDONNÉ

Contrairement à beaucoup d'exposés classiques, dans ce chapitre, la théorie des groupes de Lie semi-simples est, autant que possible, axée sur son aspect global, les algèbres de Lie n'intervenant que comme outils de démonstration. C'est pourquoi le chapitre débute par une analyse de la structure des groupes de Lie compacts et connexes, où la géométrie riemannienne permet une étude directe complète des tores maximaux (objets beaucoup plus "naturels" que les sous-algèbres de Cartan de la théorie classique). En outre, cette méthode à l'avantage de mettre dès le début l'accent sur l'une des notions les plus fondamentales des mathématiques, celle de représentation linéaire d'un groupe : c'est en effet des propriétés générales des représentations linéaires d'un groupe compact (non nécessairement de Lie), étudiées dès les premiers paragraphes du chapitre, que sont déduites, par la considération de la représentation adjointe, toutes les propriétés des "racines" et des "poids", qui paraissent toujours quelque peu miraculeuses quand on les aborde d'un point de vue strictement algébrique. 
Une fois étudiés les groupes semi-simples compacts, les propriétés de leurs complexifications et des formes réelles (non compactes) de ces complexifications s'obtiennent presque sans effort. Il faut malheureusement montrer qu'on obtient ainsi tous les groupes de Lie semi-simples complexes (resp. réels), ce qui nécessite une étude de type classique des algèbres de Lie semi-simples complexes (où toutefois la connaissance préalable de ce qui se passe pour les groupes compacts réduit l'allure arbitraire de la méthode suivie). On peut toutefois abréger cette étude en se dispensant entièrement de considérations sur les algèbres de Lie nilpotentes et résolubles, qui alourdissent inutilement beaucoup d'exposés ; ces notions ne sont introduites que postérieurement, au moment où elles sont réellement utiles (décompositions d'Iwasawa et de Lévi).
Jean DIEUDONNÉ

Ce chapitre a pour sujet principal la théorie des équations linéaires aux dérivées partielles, une des branches les plus importantes de l'Analyse, tant par ses répercussions dans beaucoup d'autres parties des mathématiques que par ses innombrables applications à la Mécanique, l'Astronomie et la Physique. Malgré sa longueur, il est très loin de constituer un exposé complet des connaissances actuelles dans ce domaine ; l'exposé a été limité aux trois types d'équations qui (en raison de leurs applications) ont été depuis 200 ans au premier plan des recherches : les équations elliptiques, hyperboliques et paraboliques, dont les prototypes sont respectivement l'équation de Laplace, l'équation des ondes et l'équation de la chaleur.
Les résultats comprennent quelques-uns des plus grands succès de l'Analyse moderne, obtenus grâce à une fusion harmonieuse et féconde des méthodes classiques (intégration par parties, théorie de Cauchy des fonctions holomorphes, transformation de Fourier) et des idées issues de l'Analyse fonctionnelle "abstraite" ; tout au long du chapitre le lecteur aura donc l'occasion de voir intervenir de façon essentielle les notions et résultats développés dans tous les chapitres antérieurs.
La première partie du chapitre, qui fait l'objet de cet ouvrage, est principalement consacrée, d'abord à l'étude des opérateurs intégraux (dont on n'a rencontré jusqu'ici que l'exemple le plus simple, l'opérateur de Fredholm), puis à la théorie des opérateurs pseudo-différentiels et de certaines de leurs généralisations. Grâce à la théorie des distributions, ces théories englobent à la fois les opérateurs différentiels et certains opérateurs intégraux et constituent les outils qui permettront d'attaquer dans la seconde partie du chapitre (tome 8), les principaux types de "problèmes aux limites".
Jean DIEUDONNÉ

A reparaître

Le but de ce chapitre est d'initier les analystes aux premiers rudiments de la Topologie algébrique et de la Topologie différentielle, deux des domaines les plus actifs des recherches modernes. Conformément à l'esprit de l' "Analyse globale" qui est celui de ce Traité, c'est la cohomologie des variétés différentielles et des espaces fibrés qui est au centre de ce chapitre, ainsi que ses relations les plus élémentaires avec les structures additionnelles portées par les variétés, telles que connexions ou structures de groupes. Lorsqu'on se borne à la cohomologie à coefficients réels ou complexes, on y accède immédiatement à l'aide des formes différentielles, sans les moindres préliminaires "combinatoires", et en n'utilisant comme outil algébrique que la suite exacte de cohomologie.
Toutefois c'est présenter une image incomplète de la théorie que de se limiter à la cohomologie à coefficients réels. Aussi, après avoir donné les propriétés essentielles de cette dernière, on aborde également la théorie de l'homologie singulière, en la mettant, comme de Rham, en rapport avec l'homologie des courants (duale de la cohomologie sur une variété orientée), la jonction se faisant par la formule de Stokes ; mais on se limite aux notions combinatoires strictement indispensables pour permettre le calcul de l'homologie des variétés différentielles les plus fréquemment rencontrées.
Jean DIEUDONNÉ
 

Soient H un espace hilbertien, L(H) l'ensemble des opérateurs linéaires continus dans H. Considérons un sous-ensemble A de L(H), stable pour l'addition, la multiplication, le produit par les scalaires, et l'adjonction ; supposons A fermé au sens de la norme des opérateurs. Alors A est une algèbre de Banach involutive d'un type particulier. Une telle algèbre s'appelle une C*-algèbre.
La théorie commença en 1943, lorsque Gelfand et Naimark eurent montré que, parmi les algèbres de Banach involutives, les C*-algèbres peuvent être caractérisées par des axiomes simples. On s'aperçut ensuite que les C*-algèbres jouent un rôle universel pour l'étude des représentations d'une classe très vaste d'algèbres de Banach involutives ; pour toute algèbre B de cette classe, on peut construire une C*algèbre A telle que les représentations de B dans un espace hilbertien s'identifient aux représentations de A. Pour beaucoup de questions (notamment celles qui font intervenir les idéaux), A est plus maniable que B. En particulier cette construction s'applique quand on prend pour B l'algèbre des fonctions intégrables sur un groupe localement compact G. On ramène ainsi l'étude des représentations unitaires de G à celle des représentations d'une certaine C*-algèbre, appelée C*-algèbre de G.
L'étude des C*-algèbres occupe presque les quatre cinquièmes de ce livre. On y expose les résultats principaux, dus notamment aux travaux de Fell, Glimm, Kadison, Kaplansky, Mackey, Segal et d'autres. Il m'a paru dommage de ne pas profiter du matériel ainsi accumulé et du matériel contenu dans mon livre sur les algèbres de von Neumann pour dire quelques mots des représentations unitaires des groupes. Ceci était d'autant plus indiqué que la théorie des groupes fournit les exemples les plus intéressants de C*-algèbres.
Jacques DIXMIER, Introduction

A diverses occasions, l'auteur a pu enseigner l'Analyse générale à des étudiants qui n'étaient pas tous au courant des conceptions modernes de la théorie des fonctions et de la théorie des ensembles.
Fort de cette expérience, nous avons pensé qu'il valait mieux ne pas suivre dans ce volume un ordre purement logique. Au lieu de mettre un lecteur peu familiarisé avec la théorie des variables abstraites, en présence d'une multiplicité d'idées nouvelles d'inégale importance, nous avons cherché à sérier les difficultés.
Nous nous sommes donc attaché d'abord à introduire et à appliquer celles de ces idées nouvelles qui sont les plus fécondes et se présentent le plus naturellement. Au premier rang se place la conception des espaces où la limite peut être définie au moyen d'une distance, c'est à dire des « espaces (D) ». C'est donc sur cette généralisation des espaces à n dimensions que nous avons insisté tout d'abord. Mais, précisément pour montrer que cette notion permet d'aborder des espaces qui sont plus complexes que les espaces à un nombre fini de dimensions, nous avons été amené aussi à introduire et à généraliser dès le début la notion de nombre de dimensions. C'est dons l'application de ces deux idées nouvelles : généralisation de la notion de distance, généralisation de la notion de nombre de dimensions qui occupera la première Partie de cet Ouvrage.
Une fois le lecteur familiarisé par ce moyen avec le maniement des ensembles d'éléments de nature quelconque, il lui sera ensuite plus facile d'aborder dans la seconde Partie l'étude d'espaces abstraits plus généraux.
Maurice FRÉCHET, Préface

Plus de 200 exercices et problèmes d'intégration, regroupés en 11 chapitres, constituent cet ouvrage. Pour la majorité d'entre eux, ces exercices sont du niveau de la maîtrise de mathématiques. Néanmoins, un certain nombre est destiné aux étudiants de 3ème cycle, aux candidats à l'agrégation ou aux chercheurs souhaitant affronter de plus grandes difficultés ou compléter leurs connaissances sur tel point de théorie.
Immédiatement suivis de leur solution détaillée et soigneusement élaborée, les énoncés des exercices sont pour certains classiques, pour d'autres moins connus, pour d'autres enfin, originaux.
L'ouvrage s'ouvre par une trentaine de pages de rappels de cours précisant, à l'intention de l'étudiant, les points de la théorie qui sont supposés connus.

Nous avons traité, dans cette nouvelle édition, les mêmes matières que dans la première et dans le même ordre. Mais nous avons ajouté, hors cadre à la fin du Volume, deux Notes substantielles : l'une, assez étendue, sur la représentation paramétrique des ensembles mesurables (B), l'autre, plus courte, sur les extensions de l'intégrale de Stieltjes. Ce ne sont que des exposés fragmentaires et, s'ils peuvent nous suffire, c'est que deux monographies, récemment parues, comblent les lacunes de ces exposés : la deuxième édition des Leçons sur l'intégration de M. H. Lebesgue (1928) et les Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications de M. N. Lusin (1930). Le lecteur pourra y étudier, avec tous les développements qu'elles comportent, les belles questions que nous n'aurons fait qu'effleurer.
Ainsi, sauf l'addition de quelques compléments nécessaires, cette deuxième édition reste voisine de la première par le fond, mais elle a subi, en divers endroits, quelques remaniements de forme assez importants, tous dus à la même préoccupation, celle d'accentuer le plus possible le caractère réaliste des énoncés et des démonstrations. J'ai voulu prévenir toute possibilité d'interprétation idéaliste, proscrire tout recours, fût-il seulement apparent, à l'axiome du choix et ne fonder les démonstrations d'existence que sur des procédés de construction effectifs rigoureusement précisés. Cela correspond sans doute à une certaine évolution dans mes idées, mais je me suis abstenu de tout commentaire philosophique. Je n'aurais, en effet, rien à ajouter à ceux que l'on trouvera dans les Ouvrages de MM. Lebesgue et Lusin que j'ai déjà cités, auxquels il convient, sous ce rapport, de joindre un troisième Volume, les Leçons sur les nombres transfinis de M. W. Sierpinski (1928).
Charles-Jean de LA VALLÉE POUSSIN, Préface de la deuxième édition

Les questions traitées dans cet Ouvrage appartiennent à la théorie descriptive des fonctions dont MM. Borel, Baire et Lebesgue sont les fondateurs. Je me suis proposé, d'une part, de continuer et d'étendre les recherches de M. R. Baire arrêtées à l'étude des fonctions de classe 3. J'ai, d'autre part, cherché à étudier des familles d'ensembles de points qui sont au delà de la classification de Baire. Cette étude s'est heurtée à des difficultés qui débordent la technique ordinaire de la théorie des ensembles, et qui sont visiblement liées aux controverses sur le continu considéré du point de vue arithmétique. C'est ici que nous pénétrons pratiquement dans le domaine des idées de M. É. Borel.
Ainsi, pendant mes recherches, je me suis placé sur le terrain des idées de M. É. Borel, idées qui m'ont aidé à m'orienter dans mes travaux et ont toujours guidé mon choix sur leur direction. Et en même temps ce sont les travaux de M. H. Lebesgue qui m'ont fourni la matière même de mes recherches. Son célèbre Mémoire Sur les fonctions représentables analytiquement est non seulement le point de départ de mon travail ; mais il est si étroitement lié à cet Ouvrage que ce dernier peut être considéré simplement comme un développement sur quelques points de ce Mémoire. Un autre point du Mémoire de M. H. Lebesgue, bien plus difficile que ceux traités ici et cependant encore plus important, est signalé à la fin de ce Livre.
Enfin, il ne m'est pas possible de passer sous silence les travaux synthétiques fondamentaux de M. Ch. de La Vallée Poussin et les recherches si importantes de M. A. Denjoy sur les ensembles clairsemés. Ces dernières recherches ont servi de base à mes études sur les classes supérieures de la classification de Baire.
Nicolas LUSIN, Avertissement

Le présent ouvrage développe les leçons que les deux auteurs ont professées au cours de plusieurs années aux Universités de Szeged et de Budapest sous les titres "Fonctions réelles", "Équations intégrales", "Espace de Hilbert", etc. Le premier manuscrit a été achevé en 1948, mais des difficultés techniques en ayant retardé l'impression on y a ajouté dans l'entre-temps quelques paragraphes traitant des résultats les plus récents.
La première partie, sur les théories modernes de la dérivation et de l'intégration, sert d'introduction à la seconde, qui traite des équations intégrales et des fonctionnelles et transformations linéaires. Cette division en deux parties correspond d'ailleurs à la division du travail entre les deux auteurs : Quoiqu'ils aient travaillé ensemble, la première partie a été rédigée principalement par le premier, et la seconde par le second auteur.
Les deux parties forment une unité organique et se groupent autour de l'idée d'opération linéaire. C'est cette idée qui se reflète aussi dans la méthode selon laquelle on édifie la théorie de l'intégrale de Lebesgue ; cette méthode, qui nous paraît plus simple et plus claire que celle fondée sur la mesure, a été utilisée par le premier auteur dans ses cours depuis plus d'une vingtaine d'années, sans être publiée sous sa forme définitive.
La première partie commence par une démonstration directe du théorème de Lebesgue sur la dérivation des fonctions monotones, et on l'applique en particulier à l"étude des relations entre dérivées et intégrales des fonctions d'intervalle. On édifie ensuite la théorie de l'intégrale de Lebesgue et l'on étudie les espaces L² et L^p et leurs fonctionnelles linéaires. L'intégrale de Stieltjes et ses généralisations sont introduites en termes d'opérations linéaires de l'espace des fonctions continues.
La seconde partie commence par un chapitre sur les équations intégrales, dont la théorie a préparé la voie à la théorie générale des transformations linéaires. On expose plusieurs méthodes pour arriver à l'alternative de Fredholm et on les applique dans le chapitre suivant aux équations fonctionnelles complètement continues, de type général, de l'espace de Hilbert ou d'un espace de Banach. Les transformations linéaires complètement continues symétriques sont étudiées dans un chapitre séparé.
On développe ensuite la théorie spectrale des transformations auto-adjointes, bornées et non bornées, de l'espace de Hilbert. On envisage aussi le problème des prolongements des transformations symétriques non bornées. Un chapitre particulier est consacré aux fonctions des transformations auto-adjointes, ainsi qu'à l'étude du spectre et de ses perturbations. Le théorème de Stone sur les groupes de transformations unitaires et des théorèmes voisins, ainsi que certains théorèmes ergodiques, font l'objet d'un autre chapitre.
Le dernier chapitre jette un coup d'œil sur les débuts, encore fragmentaires, de la théorie spectrale des transformations linéaires non nécessairement normales ; on trouve ici la méthode reposant sur le calcul des résidus, ainsi qu'une étude des résultats tout récents de John von Neumann sur les ensembles spectraux.
Frédéric RIESZ et Béla SZ.-NAGY, Avant-Propos