FRÉCHET : Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l'Analyse générale

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Maurice FRÉCHET

LES

ESPACES ABSTRAITS

ET LEUR THÉORIE CONSIDÉRÉE COMME

INTRODUCTION À L'ANALYSE GÉNÉRALE

Paris, Gauthier-Villars
1928

Auteur :
Maurice FRÉCHET

Thème :

MATHÉMATIQUES
Topologie. Mesure. Intégration

Reprint 1989
16 x 24 cm
312 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-056-9


S O M M A I R E

Introduction

- La notion de fonctionnelle et les variables abstraites.

- Les méthodes de l'Analyse fonctionnelle.
- Nature de la variable.
- L'Analyse générale.
- Les espaces abstraits.
- Propriétés des ensembles abstraits.
- Nécessité de leur étude préalable.
- Rôle de l'intervalle.
- Les méthodes de l'Analyse générale.
- Une objection.
- Deux points de vue pour dresser le plan d'extension de l'Analyse générale.

I - Généralisation de la notion de nombre de dimensions. Généralisation de la notion de distance.

A - THÉORIE DES NOMBRES DE DIMENSIONS.
1 - Introduction.
- L'évolution du concept de nombre de dimensions.
- Les correspondances biunivoques.
- Les correspondances bicontinues.
- Une première définition du nombre de dimensions.
- Les diverses définitions topologiques du nombre de dimensions.
2 - Définition du nombre (ou type) de dimensions.
- Définitions et propriétés du type de dimensions.
- Théorème de Banach.
- Rappel de définitions relatives aux ensembles géométriques.
- Transformations continues.
- Points d'accumulation, ensembles dérivés.
3 - Types de dimensions des ensembles linéaires.
- Suite croissante de tels types.
- Ensembles linéaires dénombrables.
- Ensembles non dénombrables.
- Remarques.
- Ensembles mesurables.
4 - Types de dimensions des ensembles plans.
- Homéomorphie de H1 et de H2.
- Ensembles plans dénombrables.
- Ensembles plans non dénombrables homéomorphes à des ensembles linéaires.
- Types de dimensions supérieurs à celui de la droite.
- Lignes planes cantoriennes.
- Ensembles plans de mesure nulle.
5 - Espaces à un nombre fini de dimensions.
- Espaces dont les éléments dépendent d'un nombre fini de paramètres.

- Transformations continues.
- Introduction d'une distance.
- Nombres entiers de dimensions.
- Théorème de Schoenflies-Lebesgue.

B - GÉNÉRALISATION DE LA NOTION DE DISTANCE. TYPES INFINIS DE DIMENSIONS.
1- Extension de la notion de transformation continue.
- Espaces où le voisinage peut-être défini par l'intermédiaire d'une distance, ou espaces (D).
- Transformations continues.
- Remarque.
- Espaces à un nombre fini de dimensions.
- Extension de définitions connues aux ensembles des espaces (D).
- Introduction de nouvelles définitions spéciales aux espaces (D).
2 - Ensembles compacts.
- Introduction.
- Ensembles bornés.
- Les ensembles compacts dans les espaces (D).
- Leurs propriétés.
3 - Autres définitions.
- Ensembles séparables.
- Critère de convergence de Cauchy.
- Espaces complets.
- Ensembles complets.
4 - Deux exemples simples d'espaces à une infinité de dimensions.
- L'espace (R) où chaque point a un nombre fini non borné de coordonnées.
- L'espace polynomial (P).
- Les types de dimensions des espaces (D) séparables ont un maximum.
5- Exemples d'espaces qui, tous, ont le même type infini de dimensions.
a) Espaces dont chaque élément est déterminé par une infinité dénombrable de paramètres.
b) Espaces fonctionnels.
6 - Un type de dimensions plus grand que le type infini.
7 - Nouveau type de dimensions supérieur aux précédents.
8 - Types de dimensions des ensembles dénombrables de points dans les espaces (D).
9 - Les dimensions des ensembles non dénombrables dans les espaces (D).

- Ensembles parfaits discontinus.
- Théorème de Schoenflies.
10 - Addition des types de dimensions.
- Composition de deux espaces.
- Définition de l'addition.
- Application aux espaces géométriques.
- Remarques.
11 - Type local de dimensions.
12 - Les ensembles [F] et [O] de Lebesgue.
13 - Traduction de la définition générale des ensembles compacts dans le langage propre à chacun des espaces fonctionnels précédemment considérés.
14 - Les espaces abstraits affines.

Introduction.
a) Définition vectorielle.
- Définition des familles de vecteurs abstraits.
- Définition d'un champ de vecteurs abstraits.
- Remarques.
- Exemples de champs de vecteurs.
b) Définition géométrique.
- Détermination géométrique.
- Cas linéaire.
- Cas général.
- Remarque sur la longueur.
c) Introduction des considérations de continuité.
- Espaces (D) vectoriels.
- Les espaces de Banach.
- Les espaces tendus.
- Exemples d'espaces vectoriels complets.
- Les espaces (D) affines.
- Généralisation d'un théorème de Weierstrass.
15 - Digression sur les courbes de Jordan.
- Courbes continues.
- Courbes de Cantor.
- Courbes de Jordan.
- Tangentes.
- La distance de deux courbes de Jordan.

II - Généralisation des notions de voisinage et de convergence.

1- Introduction.
- But de la Partie II.
- Contraste avec la Partie I.
- Évolution de la notion de limite.
- Point-limite.
- Point d'accumulation.
- Distance.
2 - Principales généralisations de la notion d'espace (D).
- Les classes (L).
- Les espaces topologiques.
- Retour aux espaces (L).
- Les espaces (V).
- Remarque.
- Extension de certaines définitions aux espaces (V).
- Condition pour qu'un espace soit un espace (V).
- Exemples d'espaces (V).
- Les quatre conditions de F. Riesz.
- Une cinquième condition.
- Les conditions précédentes exprimées au moyen des voisinages.
- Les espaces accessibles ou espaces (H).
Ensembles séparables et ensembles parfaitement séparables.
- Ensembles compacts et ensembles parfaitement compacts : Nécessité d'une double généralisation des ensembles linéaires bornés.
- Cas des espaces accessibles.
- Cas général des espaces (V).
3 - Généralisations intermédiaires.
Introduction.
a) - Le problème de Wiener.
- Les espaces (J) et (J1).
b) - Les espaces topologiquement affines : Introduction.
- Définition.
- Exemple.
c) - Les espaces de Hausdorff ; exemples.
d) - Les conditions de séparation : Énoncé des conditions.
- Ces cinq conditions sont distinctes.
- Définitions équivalentes des espaces réguliers et normaux d'Urysohn.
- Existence de fonctions continues non constantes sur un ensemble abstrait.
- Conditions pour qu'un espace soit un espace (L).
e) - Les espaces (S) : Définition.
- Retour aux espaces accessibles.
- Retour aux espaces (S).
f) - Les espaces (E).
- Espaces (E) complets.
- Condition pour qu'un espace (E) soit un espace (D).
g) - Le théorème de Chittenden.
- Condition pour qu'un espace accessible soit un espace (D).
- Cas des espaces parfaitement séparables.
- Cas des espaces compacts.
h) - Prolongement d'un espace non compact en un espace compact.
- Cas des espaces accessibles.
- Cas des espaces de Hausdorff.
- Cas des espaces (S).
- Cas des espaces (D).
- Prolongement d'un espace en un espace parfaitement compact.
4 - Propriétés des divers espaces topologiques abstraits.
Introduction.
a) - Propriétés des espaces (V) :
1° - Ensembles.
- Définition de Denjoy.
- Connexion.
- Ensembles compacts et parfaitement compacts.
2° - Ensembles séparables.
- Ensembles parfaitement séparables.
3° - Fonctionnelles et transformations ponctuelles : Fonctionnelles.
- Continuité uniforme.
- Égale continuité.
- Transformations ponctuelles.
- Types de dimensions.
b) - Propriétés des espaces accessibles ou espaces (H) :
1° - Ensembles.
- Connexion.
- Ensembles compacts et parfaitement compacts. Espaces à caractère dénombrable.
2° - Fonctionnelles et transformations ponctuelles.
- Convergence quasi uniforme.
- Prolongement d'une fonctionnelle.
- Cas de la semi-continuité.
- Cas des fonctionnelles non bornées.
- Prolongement d'une fonctionnelle continue.
c) - Propriétés des espaces de Hausdorff.
d) - Propriétés des espaces réguliers et des espaces normaux :
Prolongement d'une fonctionnelle dans tout l'espace.
e) - Propriétés des espaces (L) :
- Ensembles.
- Nouvelle définition de la continuité.
- Égale continuité.
f) - Propriétés des espaces (S).
g) - Propriétés des espaces (D) :
- Ensembles.
- Connexion.
- Ensembles complets.
- Ensembles séparables.
- Propriété de Denjoy. Ensembles compacts.
- Fonctionnelles et transformations ponctuelles.
- Application de la propriété de Denjoy.
- Espaces (D) affines.

Note A.
- Généralisation d'un théorème de Weierstrass.
Note B.
- Sur la notion de voisinage dans les ensembles abstraits.

 

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