GANTMACHER : Théorie des matrices, t. I et II, 1966

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Félix R. GANTMACHER

THÉORIE

DES

MATRICES

Traduit par Ch. Sarthou

T. I
Théorie générale

T. II
Questions spéciales et applications

Paris, Dunod
1966

Auteur :
Félix R. GANTMACHER

Traduction :

Ch. SARTHOU

Thèmes :
MATHÉMATIQUES
Algèbre
Analyse


Reprint 1990

16 x 24 cm
638 p.
Broché
2 tomes en 1 vol.
ISBN : 978-2-87647-035-4



S O M M A I R E

T. I - THÉORIE GÉNÉRALE

I -Matrices et opérations sur les matrices
- Matrices. Notations de base.
- Addition et multiplication des matrices rectangulaires.
- Matrices carrées.
- Matrices associées. Mineurs de la matrice inverse.

II - Algorithme de Gauss et quelques-unes de ses applications
- Méthode d'élimination de Gauss.
- Interprétation mécanique de l'algorithme de Gauss.
- Identité de Sylvester pour les déterminants.
- Décomposition d'une matrice carrée en facteurs triangulaires.
- Partition d'une matrice en blocs. Technique d'opération avec les matrices partionnées. Algorithme généralisé de Gauss.

III - Opérateurs linéaires dans un espace vectoriel de dimension n
- Espaces vectoriels.
- Opérateur linéaire appliquant un espace de dimension n dans un espace de dimension m.
- Addition et multiplication des opérateurs linéaires.
- Transformation des coordonnées.
- Matrices équivalentes. Rang d'un opérateur. Inégalité de Sylvester.
- Opérateurs linéaires appliquant un espace de dimension n dans lui-même.
- Valeurs caractéristiques et vecteurs caractéristiques d'un opérateur linéaire.
- Opérateurs linéaires de structure simple.

IV - Polynôme caractéristique et polynôme minimal d'une matrice
- Addition et multiplication des polynômes matriciels.
- Division à droite et à gauche des polynômes matriciels.
- Théorème de Bezout généralisé.
- Polynôme caractéristique d'une matrice.
- Méthode de Faddeev pour le calcul simultané des coefficients du polynôme caractéristique et de la matrice adjointe.
- Polynôme minimal d'une matrice.

V - Fonctions de matrices
- Définition d'une fonction d'une matrice.
- Polynôme d'interpolation de Lagrange-Sylvester.
- Autres formes de définition de f(A). Composantes de la matrice A.
- Représentation des fonctions de matrices au moyen de séries.
- Application des fonctions de matrices à l'intégration d'un système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants.
- Stabilité du mouvement dans le cas d'un système linéaire.

VI - Transformations équivalentes des matrices polynômiales. Théorie analytique des diviseurs élémentaires
- Transformations élémentaires d'une matrice polynomiale.
- Forme canonique d'une lambda-matrice.
- Polynômes invariants et diviseurs élémentaires d'une matrice polynomiale.
- Équivalence des binômes linéaires.
- Critère de similitude des matrices.
- Formes normales d'une matrice.
- Diviseurs élémentaires de la matrice f(A).
- Méthode générale de construction d'une matrice de transformation.
- Autre méthode de construction d'une matrice de transformation.

VII - Structure d'un opérateur linéaire dans un espace de dimension n
- Polynôme minimal d'un vecteur et d'un espace (par rapport à un opérateur linéaire donné).
- Décomposition en sous-espaces invariants avec polynômes minimaux premiers entre eux.
- Équivalence. Espace-quotient.
- Décomposition d'un espace en sous-espaces invariants cycliques.
- Formes normales d'une matrice.
- Polynômes invariants. Diviseurs élémentaires.
- Forme normale de Jordan d'une matrice.
- Méthode de Krylov de transformation de l'équation caractéristique.

VIII - Équations matricielles
_ L'équation AX = XB.
- Cas spécial A = B. Matrices commutables.
- L'équation AX = XB = C.
- L'équation scalaire f(X) = 0.
- Équations de polynôme matriciel.
- Extraction des racines m-ièmes d'une matrice régulière.
- Extraction des racines m-ièmes d'une matrice singulière.
- Logarithme d'une matrice.

IX - Opérateurs linéaires dans un espace unitaire
- Considérations générales.
- Métrisation d'un espace.
- Critère de Gram de dépendance linéaire de vecteurs.
- Projection orthogonale.
- Signification géométrique du déterminant de Gram et quelques inégalités.
- Orthogonalisation d'une suite de vecteurs.
- Bases orthonormées.
- Opérateur adjoint.
- Opérateurs normaux dans un espace unitaire.
- Spectre des opérateurs normaux, hermitiques et unitaires.
- Opérateurs hermitiques définis non négatifs et définis positifs.
- Décomposition polaire d'un opérateur linéaire dans un espace unitaire. Formules de Cayley.
- Opérateurs linéaires dans un espace euclidien.
- Décomposition polaire et formules de Cayley dans un espace euclidien.
- Opérateurs normaux commutables.

X - Formes quadratiques et hermitiques
- Transformation des variables dans une forme quadratique.
- Réduction d'une forme quadratique à une somme de carrés. Loi d'inertie.
- Méthodes de Lagrange et de Jacobi de réduction d'une forme quadratique à une somme de carrés.
- Formes quadratiques positives.
- Réduction d'une forme quadratique aux axes principaux.
- Faisceaux de formes quadratiques.
- Propriétés extrémales des valeurs caractéristiques d'un faisceau régulier de formes.
- Petites oscillations d'un système à n degrés de liberté.
- Formes hermitiques.
- Formes de Hankel.

T. II - QUESTIONS SPÉCIALES ET APPLICATIONS

XI -Matrices complexes symétriques, symétriques gauches et orthogonales
- Quelques formules pour les matrices complexes orthogonales et unitaires.
- Décomposition polaire d'une matrice complexe.
- Forme normale d'une matrice complexe symétrique.
- Forme normale d'une matrice complexe symétrique gauche.
- Forme normale d'une matrice complexe orthogonale.

XII - Faisceaux singuliers de matrices
- Introduction.
- Faisceaux réguliers de matrices.
- Faisceaux singuliers. Théorème de réduction.
- Forme canonique d'un faisceau singulier de matrices.
- Indices minimaux d'un faisceau. Critère d'équivalence forte des faisceaux.
- Faisceaux singuliers de formes quadratiques.
- Application aux équations différentielles.

XIII - Matrices à éléments non négatifs
- Propriétés générales.
- Propriétés spectrales des matrices non négatives irréductibles.
- Matrices réductibles.
- Forme normale d'une matrice réductible.
- Matrices primitives et imprimitives.
- Matrices stochastiques.
- Probabilités limites pour une chaîne de Markov homogène à un nombre fini d'états.
- Matrices totalement non négatives.
- Matrices oscillatoires.

XIV - Applications de la théorie des matrices à l'étude des systèmes d'équations différentielles linéaires
- Systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients variables. Concepts généraux.
- Transformations de Liapounoff.
- Systèmes réductibles.
- Forme canonique d'un système réductible. Théorème d'Erugin.
- Le matrizant.
- Intégrale multiplicative. Calcul infinitésimal de Volterra.
- Systèmes différentiels dans un domaine complexe. Propriétés générales.
- Intégrale multiplicative dans un domaine complexe.
- Points singuliers isolés.
- Singularités régulières.
- Systèmes analytiques réductibles.
- Fonctions analytiques de plusieurs matrices et leurs applications à l'étude des systèmes différentiels. Les travaux de Lappo-Danilevsky.

XV - Le problème de Routh-Hurwitz et questions connexes
- Introduction.
- Indice de Cauchy.
- Algorithme de Routh.
- Cas singulier. Exemples.
- Théorème de Liapounoff.
- Théorème de Routh-Hurwitz.
- Formule d'Orlando.
- Cas singuliers dans le théorème de Routh-Hurwitz.
- Méthode des formes quadratiques. Détermination du nombre de racines réelles distinctes d'un polynôme.
- Matrices de Hankel infinies de rang fini.
- Détermination de l'indice d'une fonction rationnelle arbitraire par les coefficients du numérateur et du dénominateur.
- Autre démonstration du théorème de Routh-Hurwitz.
- Compléments au théorème de Routh-Hurwitz. Critère de stabilité de Liénard et Chipart.
- Quelques propriétés des polynômes de Hurwitz. Théorème de Stieltjes. Représentation des polynômes de Hurwitz par des fractions continues.
- Domaine de stabilité. Paramètres de Markov.
- Relation avec le problème des moments.
- Théorèmes de Markov et de Chebyshev.
- Problème de Routh-Hurwitz généralisé.

 

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