MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-5, Développements en séries, 1912-1914


MOLK : ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, II-5, Développements en séries, 1912-1914

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ENCYKLOPÄDIE DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN MIT EINSCHLUSS IHRER ANWENDUNGEN

ENCYCLOPÉDIE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES 

publiée sous les auspices des Académies des Sciences de Gœttingue, de Leipzig,
de Munich et de Vienne, avec la collaboration de nombreux savants. 

Édition française rédigée et publiée d'après l'édition allemande
sous la direction de Jules MOLK, Professeur à l'Université de Nancy.

Tome II  
ANALYSE

Volume 5  
Développements en séries

Rédigé dans l'édition allemande sous la direction de H. BURKHARDT et W. WIRTINGER

Paris, Gauthier-Villars
Leipzig, B.G. Teubner

1912-1914

Directeurs :
Jules MOLK
Heinrich BURKHARDT

Wilhelm WIRTINGER

Articles par :
Salvatore PINCHERLE
Heinrich BURKHARDT
Ernest ESCLANGON
Albert WANGERIN
A. LAMBERT
Paul APPELL

Série :
Molk - Encyclopédie

Thèmes :
HISTOIRE DES SCIENCES
MATHÉMATIQUES
Analyse

Reprint 1993
24,5 x 18 cm, oblong
144 p.
Broché
ISBN : 978-2-87647-108-5

La publication de l'édition française a été définitivement interrompue en 1916 en raison de la guerre.

Ce reprint a été réalisé avec des volumes obligeamment prêtés par les Bibliothèques de l'École Normale Supérieure, de l'École Polytechnique et du Conservatoire National des Arts et Métiers.

AVIS
Cette Encyclopédie est un exposé concis, mais aussi complet que possible, de l'état actuel des diverses branches de la Science mathématique ; les auteurs ont, plus spécialement, cherché à faire connaître le développement de cette science depuis le commencement du 19e siècle.
Les indications bibliographiques, nombreuses, révisées avec soin, permettent au lecteur de se reporter aux sources et de lire les travaux originaux dont on n'a donné qu'un aperçu. On ne donnera pas, en effet, les démonstrations, mais on insistera sur les définitions et sur l'enchaînement des théories.
L'édition française de l'Encyclopédie est divisée en sept Tomes*, qui paraissent par livraisons.
Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.
Cette édition française offre un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés ; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques.
Une Tribune publique annexée à l'édition française de l'Encyclopédie permet à chaque lecteur de contribuer à combler les lacunes que cette édition pourrait encore présenter.
Il serait superflu d'insister davantage sur l'intérêt que présente l'Encyclopédie. Cet ouvrage a sa place marquée dans toutes les bibliothèques scientifiques.
Jules MOLK

* Le Tome VIII : Table des matières - Tribune publique, a été réalisé par les Éditions Jacques Gabay en 1995.

S O M M A I R E

II - 26
ÉQUATIONS ET OPÉRATIONS FONCTIONNELLES
S. Pincherle

Opérations fonctionnelles.
1. Le calcul fonctionnel.
2. Calcul fonctionnel de Leibniz à Lagrange.
3. Calcul des symboles jusqu'à Servois.
4. Lois du calcul par symboles.
5. Développement de ces lois.
6. Opérations distributives.
7. Symboles distributifs simples.
8. Dérivées à indice quelconque.
9. Calcul de généralisation d'Oltramare.
10. Équations symboliques linéaires à coefficients constants.
11. Les formes différentielles linéaires.
12. Les formes linéaires aux différences finies.
13. Applications diverses du calcul par symboles.
14. Les opérations linéaires dans un espace à nombre fini de dimensions.
15. Les opérations linéaires dans un espace fonctionnel.
16. Les séries de puissances comme éléments d'un espace fonctionnel.
17. L'espace fonctionnel général.
18. Les fonctions de lignes.
19. Expression analytique des opérations linéaires.
20. Espace fonctionnel à modules finis.
21. Opérations linéaires représentées par des intégrales définies.
22. La transformation de Laplace.
23. Fonctions déterminantes.
24. Opérations spéciales.
25. Opérations non linéaires.

Équations fonctionnelles.
26. Équations fonctionnelles en général.
27. Équations fonctionnelles depuis d'Alembert jusqu'à Babbage.
28. L'équation f(x+y) = f(x) + f(y).
29. Équations de Cauchy.
30. Équation de d'Alembert.
31. Équation de Babbage.
32. Les équations d'Abel et de Schröder.
33. Le calcul d'itération.
34. Itérations particulières.
35. Les fonctions de Kœnigs.
36. Formation des itérées.
37. Itération à plusieurs variables. Cas particulier.
38. Itération à plusieurs variables; cas général.
39. Équations fonctionnelles à plusieurs variables.
40. Interprétation géométrique: courbes et surfaces invariantes; stabilité.
41. Les équations fonctionnelles dans la théorie des fonctions analytiques.
42. Équations fonctionnelles diverses.
43. Équations opérationnelles.

II - 27
INTERPOLATION TRIGONOMÉTRIQUE
H. Burkhardt - E. Esclangon

Introduction.
1. Définitions.
2. Formules auxiliaires.
3. Historique.

Phénomènes à période connue.
4. Création par Bessel de l'interpolation trigonométrique dans le cas où les valeurs de l'argument sont en progression arithmétique.
5. Interpolation trigonométrique dans le cas où les valeurs données sont quelconques.
6. Interpolation trigonométrique dans le cas de valeurs très nombreuses de l'argument.
7. La méthode de Le Verrier.
8. Interpolation avec des observations manquées.
9. Calcul de la valeur moyenne.
10. Maximé et minimé.
11. Représentation de la marche d'un phénomène périodique à l'aide des moyennes correspondant à des intervalles de courte durée par rapport à la période.
12. Application de l'interpolation trigonométrique aux quadratures mécaniques.
13. Interpolation trigonométrique des fonctions périodiques de deux variables.

Séparation de plusieurs périodes connues.
14. Remarques préliminaires. Commensurabilité théorique et pratiques des périodes.
15. Élimination des perturbations séculaires.
16. Séparation de deux périodes du même ordre de grandeur.
17. Méthode relative aux cas compliqués. Analyse harmonique des marées.
18. Détermination des composantes par les seules observations des maximés et minimés.
19. Méthode abrégée.
20. Réduction de plusieurs termes périodiques à un terme unique d'amplitude et de phase variables.

Recherche des périodicités inconnues.
21. Méthode de Lagrange.
22. Les méthodes de Nervander et Buys-Ballot.
23. Procédé du déplacement des lignes (pulling et pushing).
24. Compléments nouveaux.
25. Critique des méthodes précédentes quand on se place au point de vue du calcul des probabilités.

Méthodes auxiliaires de calcul.
26. Méthodes de calcul relatives à des valeurs particulières du nombre des observations équidistantes contenues dans une période.
27. Méthodes graphiques. Tables et grilles.
28. Utilisation des formules à l'aide d'appareils mécaniques.
29. Analyseurs harmoniques.
30. Méthodes auxiliaires et instrumentales pour la séparation de périodes différentes et la recherche des périodicités inconnues.

II - 28
FONCTIONS SPHÉRIQUES
A. Wangerin - A. Lambert

Préliminaires.
1. Introduction.

Définition des fonctions sphériques.
2. Définition de la fonction sphérique à deux variables.

La fonction sphérique primitive Xn.
3. Introduction des fonctions sphériques fondamentales; leur équation différentielle.
4. La fonction sphérique primitive Xn.
5. Séries représentant Xn.
6. La fonction Xn sous forme de dérivée. Racines de Xn = 0.
7. La fonction Xn sous forme d'intégrale définie. Valeurs asymptotiques pour n très grand.
8. Relations entre des polynômes consécutifs.
9. Propriétés d'intégrales définies.
10. Développement d'une fonction d'une variable en série de fonctions sphériques.
11. Autres modes d'exposition. Tables.

Les fonctions sphériques fondamentales.
12. Nombre de fonctions sphériques indépendantes.
13. Les fonctions fondamentales Xpn.
14. Le théorème d'addition des fonctions sphériques fondamentales.
15. Autres définitions. Tables.

Les fonctions sphériques générales.
16. Les fonctions sphériques générales se représentent au moyen des fonctions sphériques fondamentales.
17. Représentation de Maxwell et de Thomson et Tait.
18. Propriétés d'intégrales définies.
19. Développement d'une fonction de deux variables en série de fonctions sphériques.
20. Légitimité du développement d'après Dini, Heine, Darboux, Poincaré.
21. Représentations d'après F. Neumann d'une fonction connue pour certains valeurs de la variable au moyen des fonctions sphériques.

Fonctions sphériques de deuxième espèce.
22. La fonction de deuxième espèce Qn.
23. Représentation de F.Neumann. Autres représentations.
24. Racines de Sn.
25. Quelques développements en séries pour Qn et Sn.
26. Qn sous forme d'intégrale.
27. Les fonctions sphériques et les fractions continues.
28. Fonctions adjointes de deuxième espèce.
29. Fonctions dont l'indice supérieur surpasse l'indice inférieur.

Quelques extensions.
30. Fonctions sphériques à indices quelconques.
31. Fonctions annulaires ou toroïdales.
32. Fonctions coniques de Mehler.
33. Fonctions coniques adjointes.
34. Développement d'une fonction en fonctions coniques.
35. Autres fonctions.
36. Fonctions sphériques d'ordre supérieur.
37. Fonctions de N. Nielsen.

Fonctions de Lamé.
38. L'équation de Laplace en coordonnées elliptiques.
39. Définition des fonctions de Lamé.
40. Formation des fonctions de Lamé.
41. Les quatre classes de fonctions de Lamé de première espèce.
42. Analogie avec les fonctions sphériques.
43. Racines des polynômes R.
44. Propriétés d'intégrales définies.
45. Développement d'une fonction en une somme de fonctions de Lamé.
46. Les fonctions de Lamé de deuxième espèce.
47. Recherches d'Hermite sur l'équation de Lamé.
48. Fonctions de Lamé d'ordre supérieur.
49. Extensions de la notion de fonction de Lamé.
50. Fonction de Lamé ayant plus de trois points singuliers à distance finie.
51. Fonctions du cône elliptique.

Fonctions cylindriques ou fonctions de Bessel.
52. Équation différentielle. Séries et intégrales relatives aux fonctions de première espèce.
53. Fonctions de Bessel de deuxième espèce.
54. Les fonctions de seconde espèce comme limites des fonctions de première espèce.
55. Les fonctions cylindriques comme limites des fonctions sphériques.
56. Les fonctions de deuxième espèce sous forme d'intégrales.
57. Relations de récurrence.
58. Développement en fraction continue.
59. Séries semi-convergentes.
60. Racines de l'équation Jn(x) = 0.
61. Théorème d'addition des fonctions de première et de seconde espèce.
62. La fonction On de C. Neumann.
63. Développement d'une fonction analytique suivant les fonctions de Bessel.
64. Sur les développements qui se présentent dans les applications.
65. La série de Schlömilch.
66. Représentation d'une fonction de deux variables au moyen des fonctions de Bessel.
67. Quelques intégrales définies.
68. Les fonctions de Bessel et les équations intégrales.
69. Tables des fonctions de Bessel.

Fonctions des cylindres elliptique et parabolique.
70. Fonctions du cylindre elliptique.
71. Fonctions du cylindre parabolique.

II - 28a
GÉNÉRALISATIONS DIVERSES DES FONCTIONS SPHÉRIQUES
P. Appell - A. Lambert

1. Fonctions d'une variable.
2. Fonctions de Laplace de n variables. Fonctions harmoniques généralisées.
3. Polynômes d'Hermite et analogues.
4. Séries hypergéométriques à deux variables et polynômes qui s'y rattachent.
5. Fractions continues et quadratures mécaniques.

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