BACHELIER : Le Jeu, la Chance et le Hasard, 1914


BACHELIER : Le Jeu, la Chance et le Hasard, 1914

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Louis BACHELIER 

LE JEU,

LA CHANCE ET LE HASARD

Paris, Ernest Flammarion
1914


Reprint 1993
21,5 x 18 cm, oblong
168 p.
Broché
ISBN 978-2-87647-147-4


AUTEUR :
 Louis BACHELIER

THÈMES :
 Récréations mathématiques - Jeux
 Probabilités

 

SOMMAIRE

I - Le Hasard.
- L'idée de probabilité est inhérente à la connaissance, elle dirige tous nos actes.
- Tout n'est que probabilité, la certitude absolue n'existe pas.
- L'idée de probabilité est aussi ancienne que le monde mais le calcul des probabilités n'est venu que très tard dans la science. Raisons de ce fait : la probabilité est une abstraction et son idée semble en contradiction avec l'idée de la science exacte qui recherche l'absolu.
- Le calcul des probabilités est une science autonome ayant une esthétique très spéciale et une élégance très particulière.
- Le jeu est l'image la plus claire des effets du hasard. Le jeu considéré au point de vue de la science.
- Peut-on définir le hasard ? Ce qu'en pensèrent de Montmort, Laplace, Bertrand, Poincaré. Le hasard n'existe pas, c'est une cause fictive créée par une ignorance consciente.

II - La Probabilité.
- Définition. Exemples. Cas également vraisemblables. Le calcul des probabilités est impeccable en tant que calcul. L'impossibilité et la certitude. Chance et probabilité.

III - Appréciation des probabilités.
- Nous apprécions généralement fort mal les probabilités. La simplicité de notre esprit, nos désirs, nos craintes nous font exagérer à tort la probabilité des faits qui nous intéressent; nous avons une tendance instinctive à rapprocher la probabilité de ses valeurs extrêmes. Opinions de Montmort et de Laplace sur ce sujet.

IV - L'espérance mathématique.
- Espérance mathématique d'un bénéfice éventuel. Espérance négative. Espérance totale.
- Les espérances mathématiques sont des sommes d'argent fictives.
- Jeux avantageux, désavantageux, équitables.
- Jeu de passe-dix. Étude de Galilée.
- Jeu de la rencontre. Étude de Montmort. Jeu de l'horloge.
- Jeux de cartes, en général. Difficulté de l'application du calcul des probabilités. Classification des jeux d'après la part qu'ils réservent au hasard.
- Application de la notion d'espérance mathématique à la détermination des probabilités. Cas de deux joueurs jouant jusqu'à la ruine de l'un d'eux. Leurs probabilités de ruine sont inversement proportionnelles à leurs fortunes. En jouant constamment à un jeu équitable, la ruine est certaine.

V - L'espérance morale.
- Dans la théorie de l'espérance morale, on rapporte la valeur d'un gain éventuel à la fortune de celui qui l'espère.
- Avantages et inconvénients de cette façon de comprendre l'espérance.
- Fortune morale, fortune physique et fortune numérique.
- Hypothèse de Cramer : la fortune morale serait proportionnelle à la racine carrée de la fortune physique.

VI - L'idée générale d'espérance.
- C'est l'espérance qui existe à l'état naturel, la probabilité n'est qu'un de ses éléments.
- Principe du maximum d'espérance.
- Il n'est pas ordinairement possible d'isoler les probabilités dans nos espérances.
- Influence du temps sur nos espérances. On escompte une espérance mathématique à intérêt composé comme une somme d'argent quelconque. Les lois d'escompte de notre imagination sont complexes; elles présentent cependant quelques caractères généraux. Utilité de la notion d'espérance mathématique au point de vue philosophique.

VII - La chance.
- La vie n'est qu'un jeu où règne le hasard. Insuffisance de la théorie classique du jeu pour représenter le problème de la chance. Nécessité d'une théorie admettant que le passé influe sur l'avenir.
- Les hasards de la vie et les probabilités connexes.
- Le bonheur. Le bonheur dépend de la chance mais d'une façon très complexe.
- La chance, le bonheur et les probabilités dynamiques.
- Idées superstitieuses sur la chance.

VIII - Les valeurs moyennes.
- La valeur moyenne donne une idée générale d'un ensemble de valeurs. Définition mathématique de la valeur moyenne. Valeur probable. Valeur la plus probable.
- Valeur moyenne et espérance mathématique. En moyenne, les événements se produisent en nombres proportionnels à leurs probabilités.
- Valeur moyenne du nombre des épreuves qu'il faut tenter pour qu'un événement de probabilité donnée se produise. Valeur probable du même nombre.
- L'idée vague de valeur vraisemblable ne peut généralement être précisée.
- Vie probable et vie moyenne.

IX - Les origines du calcul des probabilités.
- Première question posée à Pascal par le Chevalier de Méré. Réponse de Pascal. Ce qu'il écrivit à Fermat. L'idée de Méré était inexacte, sa remarque était cependant judicieuse.
- Seconde question posée par de Méré. Le problème des partis. Son résultat peut sembler paradoxal. Énoncé primitif du problème, sa solution par Pascal et Fermat.
- Autre énoncé du problème s'appliquant aux examens. Idée exagérée du public sur la valeur des concours.

X - Martingales et loteries.
- Martingale ascendante classique. Cas où le jeu est désavantageux ou indifférent.
- Cas où le jeu est avantageux. Le calcul est en désaccord avec l'idée de prudence.
- Martingales à progression arithmétique et martingales en général. Cas où le jeu est désavantageux, équitable, avantageux.
- La martingale, qu'elle prenne la forme financière, commerciale où industrielle est la cause unique des grosses fortunes. On ne devient jamais très riche par sa valeur.
- Les loteries. Ce que l'on achète, en réalité, en prenant un billet à la loterie. Ancienne loterie de France. Les loteries d'États.
- L'État doit réfréner les excès du jeu. Supprimer le jeu est une utopie.

XI - Classification des probabilités.
- Deux cas à distinguer suivant que, dans l'énoncé d'un problème figurent des probabilités exactement connues ou données par l'expérience. Exemple simple de la pièce de monnaie qu'on lance au hasard.
- Classification des problèmes de la première catégorie. Probabilités discontinues, semi-continues et continues. Importance de la dernière sorte de probabilité, elle permet l'emploi de procédés spéciaux très simples. Idée de la classification en introduisant la notion de temps et d'espace.
- Buffon savait être abstrait à ses heures, on lui doit la notion de probabilité géométrique. Son problème de l'aiguille.
- Ce que l'on entend généralement par probabilité géométrique. Vague qui subsiste d'ordinaire dans les énoncés. Paradoxe de Bertrand .
- Le problème du triangle tracé au hasard, très élémentaire et cependant très intéressant au point de vue géométrique. Définitions que l'on élimine, définition que l'on adopte. Le triangle moyen. Probabilité pour qu'un triangle ait ses trois angles aigus.

XII - Lois des grands nombres.
- Idée de l'importance de ces lois. Ce que l'on entend par le mot écart dans un jeu équitable. Écart probable.
- La loi des grands nombres expliquée par plusieurs exemples. Elle ne s'applique pas uniquement aux jeux mais aussi aux manifestations de hasard pur.
- Cas d'un jeu constamment identique à lui-même. Les écarts sont proportionnels à la racine carrée du nombre des parties. Notion des écarts isoprobables. Quand le nombre des parties augmente, les écarts croissent en valeur absolue et décroissent en valeur relative.
- Que doit-on entendre par l'expression : jouer gros jeu ? Caractéristiques d'un jeu. Comment on calcule l'écart probable et les autres écarts.
- Fiction des écarts continus. Courbe du hasard.
- Jeu non équitable. Espérance mathématique et gain normal. Écarts. Loi de croissance des écarts.
- Jeu des petits chevaux.
- Jeu de la roulette.
- Le trente et quarante.
- Conclusion générale. La perte moyenne croît comme le nombre des parties, les écarts comme la racine carrée de ce même nombre. La perte est d'autant plus certaine que le nombre des parties est plus grand.
- Généralité des résultats précédents. Phénomènes dépendant d'une cause constante agissant concurremment avec le hasard. Principe de la division des risques.

XIII - Loi de Bernoulli.
- Énoncé de la loi sous sa forme la plus élémentaire. Valeur normale du nombre des arrivées d'un événement en un nombre donné d'épreuves. Notion de l'écart. Écart probable. Écarts improbables.
- Énoncé de la loi de Bernoulli. Les écarts sont proportionnels à la racine carrée du nombre des épreuves. Croissance des écarts en valeur absolue, décroissance en valeur relative.
- Cas où les épreuves sont dissemblables, la probabilité variant selon une loi donnée. Probabilité moyenne. Écarts.
- Cas où la probabilité est inconnue mais dépend de causes constantes et de causes périodiques. Oscillations de la probabilité moyenne. Loi de Poisson. Variation périodique et systématique de la probabilité.
- Historique. Les grands maîtres du calcul des hasards. Les grandes œuvres.

XIV - La ruine des joueurs.
- Intérêt du problème. Ce qu'il devient par la conception du mouvement des probabilités. Idée de la théorie générale du jeu.
- Joueur luttant constamment contre le public. Si aucune limite n'est fixée pour la durée du jeu, sa ruine est certaine quand son jeu est désavantageux ou équitable.
- La ruine est presque impossible quand le jeu est avantageux. Exemple.
- Durée probable dans le cas du jeu équitable.
- Cas où la durée du jeu est limitée. Application à la roulette.
- Les écarts maxima, ce qui les différencie des écarts ordinaires.
- Second écart probable ou écart maximum probable. Il est proportionnel au premier écart probable.
- Les lois qui régissent les écarts maxima comparées aux lois qui régissent les écarts ordinaires. Analogies et différences.
- Fiction de l'écart maximum continu. Seconde courbe de probabilité.
- Valeur la plus probable, valeur moyenne et valeur probable de l'écart maximum.
- Cas d'un jeu uniforme. Les écarts maxima isoprobables croissent comme la racine carrée du nombre des parties.

XV - Les illusions des joueurs.
- Ces illusions sont de deux sortes : de nature mystique et de nature faussement rationnelle.
- Indépendance absolue des parties successives. Les joueurs, le plus souvent, ne la comprennent pas. Cause de cette illusion.
- Idée inexacte d'une compensation nécessaire.
- La loi de Bernoulli, quand elle est mal interprétée, contribue à fortifier le joueur dans ses erreurs.
- Vanité de toutes les combinaisons. Foi aveugle des joueurs en leurs systèmes.

XVI - Théories nouvelles des probabilités.
- Analogies de la transformation des probabilités avec certains phénomènes physiques. Rayonnement, désagrégation, diffusion, propagation des probabilités. Utilité de ces analogies.
- Théorie des probabilités continues. Ses principes. Elle suppose la continuité de toutes les variables. Ses avantages sur la théorie classique. Les résultats qu'elle a permis d'obtenir.
- Probabilités connexes. Le calcul des probabilités ne doit pas se borner à l'étude des phénomènes de hasard pur. Cas où l'effet actuel du hasard dépend de la résultante des effets antérieurs. Probabilités connexes et probabilités mêlées.
- Probabilités cinématiques. Mouvement d'un point géométrique qui se déplace au hasard. Mouvement plus complexe.
- Probabilités dynamiques. Mouvement d'un point matériel soumis à l'action d'une force dont la direction varie au hasard. La mécanique du hasard.

XVII - Le hasard et l'expérience.
- Utilité de comparer les résultats de l'expérience avec ceux de la théorie. La comparaison est intéressante à plusieurs points de vue.
- Appareil de Galton donnant une représentation physique de la loi des grands nombres. Expérience de Wolf.
- La roulette. Vérifications par les séries. Vérification par l'écart moyen. Vérification par le zéro.
- Les décimales du nombre pi. On a calculé ce nombre avec plus de sept cents décimales. Ces décimales peuvent-elles être considérées comme se succédant au hasard ? Étude du plus grand écart. Étude de l'ensemble des écarts.
- Détermination de π par le jeu de pile ou face.

XVIII - La spéculation.
- La spéculation et le hasard. Utilité de la théorie aux points de vue philosophique, mathématique et pratique.
- Variation et instabilité.
- Loi de l'offre et de la demande. Principe de l'espérance mathématique. Sa généralité.
- Écarts. Écart probable. Loi générale. Croissance des écarts isoprobables. Principe de l'uniformité.
- Jeu et spéculation. Joueur et spéculateur.
- Premier problème de la théorie de la spéculation.
- Second problème de la théorie de la spéculation.
- Courbe de probabilité.

XIX - Opérations de spéculation.
- Opérations fermes. Prime simple. Risque limité. Valeur de la prime simple. Prime simple et écart probable. Probabilité de réussite du preneur de prime simple. Variation de la prime simple avec le temps. Coefficient d'instabilité.
- Stellage. Probabilité de réussite du preneur de stellage.
- Les primes en général. Valeur de la prime. Risque limité pour l'acheteur. Prime et assurance. Exemple. Écart de la prime. Prime à la baisse.
- Les considérations vagues auxquelles on se borne d'ordinaire pour les écarts des primes peuvent conduire à des résultats absurdes. Il existe une loi des écarts. Comment on l'obtient. Loi mathématique. Énoncé de la loi des écarts des primes. Exemple de l'application de cette loi.
- Cas d'échéances différentes. Connaissant la valeur d'une prime on en déduit l'écart probable. Exemple.
- On pourrait imaginer des primes d'une nature plus complexe, par exemple des primes donnant le droit de toucher la différence entre le plus haut et le plus bas cours. Quelle que soit la nature d'une prime, on peut toujours en calculer les éléments.
- Faculté du double. Faculté du triple. Écarts des facultés. Probabilité de réussite du preneur de faculté. Variation des écarts avec le temps.
- Classification des opérations complexes. Opérations fermes contre primes. Opérations à primes contre primes. Remarque générale sur les opérations complexes.
- Théorie et expérience. Vérification de la loi des écarts.

XX - Probabilités des événements futurs d'après les événements observés.
- Intérêt de cette théorie. Rappel de la loi directe de Bernoulli.
- Inversion de la loi de Bernoulli; lorsqu'on ignore la probabilité d'un événement, on adopte pour cette probabilité le rapport du nombre des arrivées de l'événement au nombre total des épreuves. Ce rapport se nomme probabilité apparente. La probabilité apparente se rapproche de la probabilité vraie quand le nombre des épreuves croît.
- Probabilités des événements futurs d'après les événements observés. Valeur normale apparente. Écarts apparents. Ils ne suivent pas la loi de Bernoulli. La croissance des écarts apparents est beaucoup plus rapide que la croissance des écarts vrais.
- Idées a priori sur la probabilité d'une éventualité. Faits nouveaux de nature à modifier ces idées. Idées résultantes ou a posteriori. Quand le nombre des faits nouveaux augmente de plus en plus, l'importance des idées ou hypothèses a priori devient négligeable; le résultat a posteriori est indépendant de toute hypothèse.
- Hypothèse de Bayes supposant l'ignorance absolue a priori. La théorie classique même généralisée n'admet pas que des faits nouveaux puissent engendrer des idées nouvelles, elle est donc insuffisante pour représenter tous les cas.
- Probabilités des événements futurs déduites des probabilités a posteriori. Importance du doute.
- Conditions d'identité des épreuves. Comment reconnaître que des épreuves sont identiques ? Premier procédé. Méthode de Laplace. Les résultats du calcul des probabilités ne sont jamais absolus.
- Naissances masculines et féminines. Constance du rapport des nombres de ces naissances. Statistiques d'Arbuthnot. Remarques de Nicolas Bernoulli et de Moivre. Légères variations du rapport. La masculinité.
- Naissances dans une même famille. On peut dire que les sexes des enfants d'une même famille se succèdent au hasard, sauf lorsqu'il s'agit de jumeaux.

XXI - Les erreurs d'observation.
- Utilité de la théorie des erreurs dans les sciences d'observation, en particulier dans l'Astronomie et dans la Balistique. On ne peut mesurer exactement une grandeur. Il faut distinguer les erreurs fortuites ou accidentelles des erreurs systématiques ou constantes. Il existe toujours des erreurs systématiques.
- Loi d'erreur. Courbe d'erreur. Forme que doit affecter une courbe d'erreur.
- Loi exponentielle. Hypothèse des erreurs infinitésimales. Elle conduit à la loi des grands nombres. Coefficient de précision. Erreur probable.

XXII - Principe de la moyenne.
- Étant données les valeurs fournies par l'observation, en déduire la meilleure valeur pour la quantité mesurée. Le problème est généralement insoluble. Proposition inverse de Bertrand.
- Quand les erreurs suivent la loi exponentielle, une valeur s'impose pour la quantité mesurée; c'est la moyenne arithmétique des mesures.
- Postulatum de Gauss. Critique de ce principe. Principe proposé par Bertrand. Essais de démonstration du principe de Gauss.
- Détermination de la précision par la moyenne des erreurs, par la moyenne des carrés des erreurs, par l'erreur probable.
- Loi d'erreur quelconque. Règle de la moyenne arithmétique. Règle de la valeur médiane.
- Observations dissemblables. Poids d'une observation et moyenne par poids. Cas où la règle de la moyenne par poids s'impose, cas où elle est simplement avantageuse.
- Observations discordantes. Raisons pour et contre la suppression des mesures discordantes. Opinions de Legendre, de Svanberg, de Laplace, de Faye, d'Asaph Hall. Critériums de rejet.
- Cas où la loi exponentielle n'est pas vérifiée.
- La taille des conscrits. Les écarts suivent la loi du hasard.

XXIII - Courbes de fréquence.
- Courbes de fréquence. Courbe de fréquence de la taille des conscrits. Courbe de la taille des deux sexes.
- Comparaison des courbes de fréquence. Courbes figuratives du Dr Gustave Le Bon. Recherches sur la variation du volume du crâne. La Biométrie.
- Représentation analytique des courbes de fréquence. Ce n'est qu'une représentation approximative, mais elle est très utile.
- La moyenne, le maximum de fréquence et la valeur médiane. La moyenne, qui n'est qu'un chiffre ne peut représenter toutes les valeurs qu'elle résume. La connaissance de la valeur moyenne a plus ou moins d'importance suivant les cas. La valeur moyenne et le centre de gravité.
- La dispersion. Sa mesure par l'écart quadratique et par l'écart moyen. Coefficient de dissymétrie.
- Covariation. Idée de la liaison qui peut exister entre deux quantités. Emploi des courbes de fréquence. Exemple extrait d'un mémoire du Dr Gustave Le Bon.
- Coefficient de corrélation de Pearson. Valeurs limites de ce coefficient. Corrélation et covariation. Rapport de corrélation.
- Coefficient de contingence. Remarque générale sur les courbes de fréquence et les corrélations.

XXIV - Le tir à la cible.
- Écarts systématiques et écarts fortuits. Écarts en portée et en direction.
- Les écarts suivent la loi du hasard. Ellipse probable. Ellipses d'égale probabilité. Ellipse la plus probable. Ellipse moyenne.
- Peut-on équitablement classer les tireurs dans un concours ?
- Remarques générales sur les lois des grands nombres et sur la valeur du calcul des probabilités.

 

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