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Géométrie élémentaire et moderne


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Document sans nom

Le cercle dans lequel paraissait renfermées les études mathématiques au commencement du XIXe siècle a été brisé de tous côtés. Les problèmes anciens se présentent à nous sous une forme renouvelée, des problèmes nouveaux se posent, dont l'étude occupe des légions de travailleurs. Le nombre de ceux qui cultivent la Géométrie pure est devenu prodigieusement restreint. Il y a là un danger contre lequel il importe de se prémunir. N'oublions pas que, si l'Analyse a acquis des moyens d'investigation qui lui faisaient défaut autrefois, elle les doit en grande partie aux conceptions introduites par les Géomètres. Il ne faut pas que la Géométrie demeure en quelque sorte ensevelie dans son triomphe. C'est à son école que nous avons appris, que nos successeurs aurant à apprendre, à ne jamais se fier aveuglément aux méthodes trop générales, à envisager les questions en elles-mêmes et à trouver, dans les conditions particulières à chaque problème, soit un chemin direct vers une solution facile, soit le moyen d'appliquer d'une manière appropriée les procédés généraux que toute science doit rassembler. Ainsi que le dit Chasles au commensement de l'Aperçu historique : « Les doctrines de la pure Géométrie offrent souvent, et dans une foule de questions, cette voie simple et naturelle qui, pénétrant jusqu'à l'origine des vérités, met à nu la chaîne mystérieuse qui les unit entre elles et les fait connaître individuellement de la manière la plus lumineuse et la plus complète. »
Cultivons donc la Géométrie qui a ses avantages propres, sans vouloir, sur tous les points, l'égaler à sa rivale. Au reste, si nous étions tentés de la négliger, elle ne tarderait pas à trouver dans les applications des Mathématiques, comme elle l'a déjà fait une première fois, les moyens de renaître et de se développer de nouveau. Elle est comme le Géant Antée qui reprenait ses forces en touchant la Terre.

Gaston DARBOUX, Étude sur le développement des méthodes géométriques, 1904, in W. W. Rouse BALL, Histoire des Mathématiques, t. I, 1904 et t. II, 1907

 

 



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NOTE LIMINAIRE

L'ouvrage est partagé en 24 leçons et respecte l'ordre du programme * : géométrie orientée, transformations, coniques. L'étude de ces dernières est présentée, pour chacune d'elles, à partir de leur définition classique. L'étude en est reprise ensuite à partir de la définition commune. Il semble que cette manière d'opérer soit de nouveau en faveur dans nos classes. Le plus grand soin a été apporté à la clarté des figures et au choix des exercices qui, dès les premières leçons, comportent des textes des problèmes proposés au Baccalauréat.
* Programme du 27 juin 1945

 

49,00 *
Référence: 163

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Compléments de géométrie moderne
Le dernier ouvrage de Michel, paru en 1926, sous le nom modeste de Compléments de géométrie moderne, contient, en quelque trois cents pages, le résultat du labeur de toute une vie. Heureux les étudiants à venir qui pourront trouver là des renseignements qu'il fallait chercher auparavant dans cent mémoires différents et qui apparaissaient épars, incomplets, non reliés entre eux! Ils sont maintenant présentés d'une manière impeccable, avec un style sobre, nourri de faits, accompagnés de propriétés diverses, de conséquences nombreuses, groupées de main de maître.
C'est ainsi que Charles Michel « a servi à son modeste rang », comme il le disait ici même le 12 juillet 1928, cette science mathématique qu'il aimait tant, dont il appréciait la grandeur, qu'il déclarait être « une des plus nobles occupations de l'esprit » et dont l'étude lui paraissait apporter à celui qui la pratiquait « de quoi remplir dignement une vie humaine ».
Pierre CHENEVIER, Distribution des prix du Concours général de 1936

Exercices de géométrie moderne
(Solutions des questions proposées dans les Compléments de géométrie moderne de Charles Michel)
Les questions traitées sont de difficultés très diverses. Je me suis efforcé de varier les méthodes employées à les résoudre, donnant tantôt la préférence à des procédés peut être un peu longs, mais élémentaires, ayant ailleurs recours au mode de représentation de la géométrie descriptive.
Le lecteur appréciera hautement les notes et solutions dont M. Harmegnies, répétiteur à l'École Polytechnique, a bien voulu enrichir ce petit livre, ainsi que celles que je dois à l'amitié de M. Labrousse, l'éminent professeur de Mathématiques spéciales du lycée Saint-Louis.
Julien LEMAIRE, Préface

Les correspondances algébriques (1,1), (2,1), (2,2)
Les relations homographiques entre deux variables détiennent une place de choix dans l'étude des courbes et des surfaces du second degré. Il n'est pas sans intérêt de les utiliser conjointement avec les relations qui sont du premier degré par rapport à l'une des variables et du second degré par rapport à l'autre et avec les relations qui sont du second degré par rapport à chacune des deux variables. J'ai cherché à en étendre les applications à l'étude des courbes planes ou gauches du troisième degré et des surfaces réglées du troisième ordre.
[...]
Je manquerais au plus élémentaire des devoirs en ne disant pas que j'ai beaucoup emprunté aux livres bien connus et si appréciés de Duporcq et de Michel et utilisé des notes que Monsieur l'Inspecteur Général Blutel m'a communiquées sur les représentations propres des courbes unicursales, la relation biquadratique et les surfaces du troisième ordre.
Gaston SINGIER, Avertissement

58,00 *
Référence: 110

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ARTICLES :

III-1 : PRINCIPES DE LA GÉOMÉTRIE
F. Enriques

III-1a : NOTES SUR LA GÉOMÉTRIE NON-ARCHIMÉDIENNE
A. Schœnflies

III-2 : LES NOTIONS DE LIGNE ET DE SURFACE
H. von Mangoldt - L. Zoretti

III-3 : EXPOSÉ PARALLÈLE DU DÉVELOPPEMENT DE LA GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE ET DE LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE PENDANT LE 19e SIÈCLE
G. Fano - S. Carrus

III-4 : GÉOMÉTRIE ÉNUMÉRATIVE
H.G. Zeuthen - M. Pieri

III-5 : LA THÉORIE DES GROUPES CONTINUS ET LA GÉOMÉTRIE
G. Fano - É. Cartan

Au lieu de

31,00 €
31,00 *
Référence: 111

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ARTICLES :

III-8 : GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
A. Schœnflies - A. Tresse

III-9 : CONFIGURATIONS *
E. Steinitz - E. Merlin

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

24,00 *
Référence: 112

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ARTICLES :

III-17 : CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-18 : SYSTÈMES DE CONIQUES
F. Dingeldey - E. Fabry

III-19 : THÉORIE GÉNÉRALE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES *
L. Berzolari

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

35,00 *
Référence: 113

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ARTICLE :

III-22 : QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy

27,00 *
Référence: 065

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Cet ouvrage doit être loué pour sa grande clarté, sa concision dans l'exposé, sa progression bien ordonnée du plus facile au plus difficile, la multitude des nouvelles idées qu'il apporte et pour une réalisation parfaite. A cause de cela, nous devons en recommander la lecture ; on y puisera une riche nourriture spirituelle qui contribuera incontestablement à la conservation et au progrès du véritable esprit géométrique qui manque parfois dans la mathématique nouvelle.
Carl Friedrich GAUSS, Compte rendu de la 3e édition de la Géométrie descriptive dans les Göttingische gelehrle Anzeigen, (31 juil. 1813)

31,00 *
Référence: 315

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Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

125,00 *
Référence: 085

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Cet ouvrage a pour but de montrer par de nombreux exemples tout le parti que l'on peut tirer des théories géométriques modernes et comment elles permettent de résoudre avec simplicité beaucoup de problèmes dont la solution par la géométrie classique serait des plus compliquées.

« En voici les neuf parties :
Géométrie dirigée - Transversales - Division et faisceau harmoniques - Pôles, polaires, plans polaires, dans le cercle et la sphère - Rapport anharmonique - Inversion - Homographie - Involution - Géométrie projective. Application aux coniques.
Des "Exercices" ? Plutôt au début de chaque étude, la mise en place des résultats essentiels. Puis souvent, de courts mais vrais problèmes, souvent classiques à cette époque ou devenus tels après cette publication.
Un ouvrage, donc, très complet, avec de claires explications et de bonnes progressions, largement utilisées d'ailleurs me semble-t-il, par des auteurs de manuels ultérieurs. »
[...]
« Bref un ouvrage chaudement recommandé pour bibliothèques et pour une culture personnelle. »
Henri BAREIL, Bulletin de l'APMEP, n° 413, 1997

90,00 *
Référence: 305

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Il n'y a guère lieu de chercher à perfectionner les études de trigonométrie rectiligne en restant toujours dans le domaine rectiligne ; la perfection et les ouvertures sur beaucoup d'extensions sont dans le domaine sphérique.
Le présent ouvrage est disposé comme un traité de trigonométrie rectiligne ; la formule fondamentale est
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Toutefois le néophyte attentif sera frappé tout de suite d'une nouveauté essentielle constituée par la nécessité de pouvoir disposer, dès le début, de la notion d'aire ou de celle de l'excès sphérique. Les formules de Delambre et les analogies de Néper viennent rapidement montrer la richesse du sujet.
Viennent alors les résolutions proprement dites, en commençant par les triangles rectangles, puis les théories des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit. Les médianes, les bissectrices, les hauteurs, les théorèmes de Ménélaüs et de Céva sont prétextes à d'élégants développements ayant d'ailleurs toujours quelque chose de plus intéressant sur la sphère que sur le plan. Cette dernière impression non seulement s'accentue mais domine dans un chapitre spécialement consacré à l'excès sphérique. Là se trouve la très jolie formule de L'Huillier (avec trois démonstrations), une expression de cos E par une sorte d'analogie des cosinus, les théorèmes de Gudermann et de Lexell, où interviennent des triangles à aire constante.
La puissance sphérique, l'axe radical, le quadrilatère sphérique, le volume du tétraèdre, la sphère circonscrite à celui-ci, quelques aperçus sur les polyèdres réguliers, des cas spéciaux de résolution triangulaire conduisent à une fin enrichie de nombreux exercices constituant tous de jolis compléments.
Tout en restant élémentaire, M. Papelier vient de faire beaucoup pour la sphérique.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, 29 (1930)

36,00 *
Référence: 030

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Plusieurs siècles avant l'ère chrétienne, la Géométrie était déjà arrivée à un très haut degré de développement. L'Algèbre qui lui a rendu plus tard de si grands services, avait progressé plus lentement ; aussi les anciens en étaient-ils à peu près exclusivement réduits aux méthodes géométriques pour résoudre les problèmes de construction et la solution de ces questions jouait-elle un rôle important dans leurs ouvrages.
Quoique les mathématiciens modernes n'aient pas cessé de s'intéresser à cette branche de la science, les moyens de traiter rationnellement cette classe de problèmes se sont développés d'une manière relativement moins rapide. Apollonius par exemple aurait aussi bien pu que Steiner résoudre le problème de Malfatti, s'il en avait eu connaissance. Cette situation a été cause que beaucoup de personnes ont considéré les problèmes de construction géométrique comme des sortes d'énigmes dont la solution ne pourrait guère être tentée que par quelques esprits doués de facultés toutes spéciales. Il en est résulté que ces questions ont à peine pénétré dans les écoles où pourtant elles auraient tout naturellement dû être cultivées ; car il n'existe pas de problèmes qui servent autant à aiguiser la faculté d'observation et de combinaison et à donner à l'esprit de la clarté et de la logique ; il n'y en a pas qui présentent autant d'attrait pour les élèves.
L'ouvrage actuel a pour objet d'essayer d'apprendre à ces derniers comment on doit attaquer un problème de construction. Après avoir résolu un grand nombre de questions, les unes originales, les autres extraites des nombreuses collections existantes, j'ai essayé d'analyser l'enchaînement des idées qui conduisent à la solution de chacune d'elles et d'en faire une classification sous forme de règles générales. S'il se trouve que mes solutions diffèrent des autres auteurs et si, dans certains cas, elles paraissent plus compliquées, c'est que j'ai préféré celles qui sont méthodiques à celles qui semblent dues à un hasard heureux. L'objet que j'ai principalement en vue, c'est la méthode ; dans la plupart des cas, je n'ai fait qu'indiquer la clef de la solution et j'en ai laissé la discussion détaillée au lecteur ou au professeur.
Il y a très peu de figures dans le texte ; on comprend bien mieux une figure et on se la rappelle bien plus facilement quand on l'a vue pendant la période de la construction. Mon idée, c'est de forcer les élèves à travailler le présent ouvrage et non pas simplement à le lire.
Julius PETERSEN, Préface
 

 

20,00 *
Référence: 132

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Prisonnier de guerre lors de la retraite de Moscou en 1812, Poncelet occupa ses loisirs forcés à retrouver les éléments de géométrie qui, bien des années auparavant lui avaient été enseignés, et à approfondir quelques idées neuves que ce travail lui avait suggérées. Ses très remarquables découvertes furent exposées plus tard dans son Traité des propriétés projectives des figures, publié en 1822, et qui fut pendant de longues années le seul ouvrage propre à initier les mathématiciens à cette géométrie moderne que Poncelet a la gloire d’avoir fondée.
L’objet principal de ce grand ouvrage est d’établir certaines relations entre deux figures qui sont la perspective l’une de l’autre, ce qui permet de ramener la recherche des propriétés d’une figure à celle des propriétés d’une figure plus simple. Par exemple, deux cercles donnent par projection conique deux courbes du second ordre, dont les propriétés découlent de celles des cercles.
En perspective, ces figures sont situées dans deux plans différents. Il est plus simple de supposer l’un des plans rabattus sur l’autre. Les deux figures sont alors dites homologiques l’une de l’autre ; le point de concours des droites qui joignent les points correspondants est le centre d’homologie et l’arête commune l’axe d’homologie. Le centre et l’axe d’homologie définissent la figure homologique d’une figure donnée.
Les principales propriétés des coniques que Poncelet découvrit au moyen de l’homologie sont celles-ci : les foyers d’une conique peuvent être considérés comme des cercles de rayon nul ayant un double contact avec la conique, définition qui a permis à Plücker de généraliser la notion de foyer ; lorsque plusieurs coniques ont mêmes sécantes communes, si l’on inscrit dans l’une de ces courbes un polygone dont tous les côtés moins un soient tangents aux autres courbes puis que l’on déforme le polygone en faisant glisser ses sommets sur la première conique et ses côtés sur les autres coniques, le côté libre et toutes les diagonales du polygone rouleront sur d’autres coniques ayant mêmes sécantes communes avec les proposées. Jacobi a fait une heureuse application de ce théorème aux fonctions elliptiques.
L’ouvrage de Poncelet renferme en outre l’exposé de la théorie des polaires réciproques, fondée sur une loi qui reçut de Gergonne le nom de principe de dualité.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. II, 1907

150,00 *
Référence: 136

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Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études : on peut se restreindre aux Programmes officiels et n'en pas franchir le cadre ; on peut aussi, en suivant strictement ces Programmes dans ce qu'ils ont d'obligatoire, aller au delà et essayer de les compléter.
Pour appliquer une science, il ne suffit pas d'en connaître quelques parties, il faut être familier avec toutes ses méthodes, en saisir l'ensemble. Les magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n'ont pas pénétré dans l'enseignement ; délaissées par les Programmes, elles n'occupent pas dans la série des études mathématiques la place qui leur est due ; on en parle à peine et accessoirement en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort être une nouvelle conquête de l'admirable instrument créé par Descartes.
Nous sommes loin de reprocher aux Programmes leur silence à cet égard ; ils sont tellement chargés, qu'il serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on apprendre un programme d'examen et essayer en même temps de comprendre la portée de la science que l'on étudie, en prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses principales méthodes ? Telle est la pensée qui nous a guidés dans la composition de cet Ouvrage.
Eugène ROUCHÉ et Charles de COMBEROUSSE, Avertissement

105,00 *
Référence: 092

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Le premier Chapitre de cette sixième édition renferme les premiers éléments de la théorie des fonctions circulaires ; le deuxième est relatif à la construction et à l'usage des Tables trigonométriques ; les deux Chapitres suivants contiennent la Trigonométrie proprement dite, c'est à dire l'ensemble des principes sur lesquels repose la résolution des triangles rectilignes ou sphériques. Ces quatre Chapitres constituent la partie élémentaire de notre Ouvrage. Dans le Chapitre cinquième, nous donnons un complément assez étendu de la théorie des fonctions circulaires, si utile dans les parties élevées des Mathématiques. Enfin le sixième Chapitre, qui termine l'Ouvrage, est surtout consacré au développement des solutions trigonométriques fondées sur l'emploi des séries ; ces solutions se rapportent à différents cas qui se présentent fréquemment dans l'Astronomie et dans le Géodésie, et pour lesquels les méthodes générales deviennent insuffisantes.
Joseph-Alfred SERRET, Avertissement

 

35,00 *
Référence: 034

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Qui veut connaître réellement ce qu'était la Géométrie grecque, soit comme forme, soit comme fond, doit l'étudier sur les écrits mêmes ou, au moins, sur les traductions d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius et de Pappus. Mais ces écrits ne peuvent nous apprendre l'histoire de la Science ; ils nous laissent ignorants de son origine, de ses premiers développements, de même que, par suite de la perte d'Ouvrages considérables, ils ne nous permettent pas d'apprécier, sans recourir à des conjectures, la direction des travaux concernant la Géométrie supérieure et le niveau réel des connaissances atteintes.
L'histoire de la Géométrie grecque doit donc faire appel à d'autres sources ; soumettre ces sources à une critique méthodique et conforme aux principes applicables en pareille matière, c'est le but que je me suis proposé, parce qu'il m'a semblé que cela n'avait pas encore été fait d'une façon satisfaisante, malgré les travaux très importants qui ont été déjà publiés sur ce sujet.  Rechercher spécialement comment les traditions se sont formées, comment elles nous ont été transmises, m'a paru, notamment dans la question des origines, indispensable pour déterminer ce que nous pouvons affirmer, ce que nous pouvons seulement considérer comme probable, ce qu'au contraire nous devons regarder comme purement conjectural ou même tout à fait incertain.
Paul TANNERY, Préface

27,00 *
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