Compléments de géométrie moderne
Le dernier ouvrage de Michel, paru en 1926, sous le nom modeste de Compléments de géométrie moderne, contient, en quelque trois cents pages, le résultat du labeur de toute une vie. Heureux les étudiants à venir qui pourront trouver là des renseignements qu'il fallait chercher auparavant dans cent mémoires différents et qui apparaissaient épars, incomplets, non reliés entre eux! Ils sont maintenant présentés d'une manière impeccable, avec un style sobre, nourri de faits, accompagnés de propriétés diverses, de conséquences nombreuses, groupées de main de maître.
C'est ainsi que Charles Michel « a servi à son modeste rang », comme il le disait ici même le 12 juillet 1928, cette science mathématique qu'il aimait tant, dont il appréciait la grandeur, qu'il déclarait être « une des plus nobles occupations de l'esprit » et dont l'étude lui paraissait apporter à celui qui la pratiquait « de quoi remplir dignement une vie humaine ».
Pierre CHENEVIER, Distribution des prix du Concours général de 1936

Exercices de géométrie moderne
(Solutions des questions proposées dans les Compléments de géométrie moderne de Charles Michel)
Les questions traitées sont de difficultés très diverses. Je me suis efforcé de varier les méthodes employées à les résoudre, donnant tantôt la préférence à des procédés peut être un peu longs, mais élémentaires, ayant ailleurs recours au mode de représentation de la géométrie descriptive.
Le lecteur appréciera hautement les notes et solutions dont M. Harmegnies, répétiteur à l'École Polytechnique, a bien voulu enrichir ce petit livre, ainsi que celles que je dois à l'amitié de M. Labrousse, l'éminent professeur de Mathématiques spéciales du lycée Saint-Louis.
Julien LEMAIRE, Préface

Les correspondances algébriques (1,1), (2,1), (2,2)
Les relations homographiques entre deux variables détiennent une place de choix dans l'étude des courbes et des surfaces du second degré. Il n'est pas sans intérêt de les utiliser conjointement avec les relations qui sont du premier degré par rapport à l'une des variables et du second degré par rapport à l'autre et avec les relations qui sont du second degré par rapport à chacune des deux variables. J'ai cherché à en étendre les applications à l'étude des courbes planes ou gauches du troisième degré et des surfaces réglées du troisième ordre.
[...]
Je manquerais au plus élémentaire des devoirs en ne disant pas que j'ai beaucoup emprunté aux livres bien connus et si appréciés de Duporcq et de Michel et utilisé des notes que Monsieur l'Inspecteur Général Blutel m'a communiquées sur les représentations propres des courbes unicursales, la relation biquadratique et les surfaces du troisième ordre.
Gaston SINGIER, Avertissement

ARTICLES :

III-8 : GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
A. Schœnflies - A. Tresse

III-9 : CONFIGURATIONS *
E. Steinitz - E. Merlin

* La fin de l'article n'a pas été publiée en raison de la guerre.

ARTICLE :

III-22 : QUADRIQUES
O. Staude - A. Grévy

Cet ouvrage, publié en 1707, avait été composé, trente ans auparavant, pour servir aux leçons que donnait son immortel auteur dans l'Université de Cambridge, où il était professeur de mathématiques. Peu volumineux, comme tous les bons livres que la réflexion a mûris, celui-ci mérita non seulement d'être mis au nombre des plus excellents livres élémentaires, mais encore de tenir une place remarquable parmi les ouvrages d'invention, qui augmentent le domaine de la science par des vérités neuves et importantes. Voici ce qu'en disait, sous ce dernier rapport, l'abbé de Gua, Géomètre de l'Académie des Sciences, en 1741.

« Quoique Newton fût né, dit-il, dans un temps ou l'analyse paraissait déjà presque parfaite, cependant un si grand génie ne pouvait manquer de trouver à y ajouter encore. Il a donné en effet, successivement, dans son Arithmétique universelle : 1°. Une règle très élégante et très belle pour reconnaître les cas où les équations peuvent avoir des diviseurs rationnels, et pour déterminer, dans ces cas, quels polynômes peuvent être ces diviseurs ; 2°. Une autre règle pour reconnaître, dans un grand nombre d'occasions, combien il doit se trouver de racines imaginaires dans une équation quelconque ; une troisième pour déterminer d'une manière nouvelle les limites des équations ; enfin une quatrième pour découvrir en quel cas les équations des degrés pairs peuvent se résoudre en d'autres de degrés inférieurs dont les coefficients ne contiennent que de simples radicaux du premier degré. »

Considérée comme ouvrage élémentaire destiné aux commençants, l'Arithmétique universelle nous paraît encore plus recommandable. C'est un modèle de méthode, de précision, d'élégance : c'en est un dans l'art de généraliser ses idées, dans le choix des problèmes, dans la variété des solutions.
Ce qui embarrasse les commençants en algèbre (et le livre dont il s'agit est un traité de cette science) ce qui, dis-je, est difficile pour eux, ce n'est pas de comprendre, ni de suivre le mécanisme de cette langue jusques dans ses moindres détails, un esprit ordinaire en vient facilement à bout ; c'est de saisir, dans une question, les rapports que les grandeurs ont entre elles, et de les traduire en langage algébrique. On n'a point de règles générales à ce sujet, et il est impossible d'en trouver, parce que les principes d'où dérivent les rapports sont différents dans les problèmes de différents genres. Il n'y a que l'habitude d'envisager ces sortes de questions, de les discuter, de les varier, qui puisse, après beaucoup d'exercice, donner de la facilité dans ces recherches. Aussi Newton semble-t-il s'être proposé principalement de plier les esprits à cette habitude. La moitié de son livre n'a point d'autre objet. Les sujets des questions qu'il présente sont pris dans toutes les parties de nos connaissances auxquelles l'algèbre est applicable : elles sont choisies avec tant de soin, et disposées avec tant d'art, qu'un jeune esprit a besoin de déployer à chaque instant une sagacité nouvelle, et qu'en même temps, à chaque pas, il a le sentiment agréable de l'accroissement de ses forces.
L. LEFÈVRE-GINEAU, membre de l'Institut national, et professeur au Collège de France

A reparaître

Il n'y a guère lieu de chercher à perfectionner les études de trigonométrie rectiligne en restant toujours dans le domaine rectiligne ; la perfection et les ouvertures sur beaucoup d'extensions sont dans le domaine sphérique.
Le présent ouvrage est disposé comme un traité de trigonométrie rectiligne ; la formule fondamentale est
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
Toutefois le néophyte attentif sera frappé tout de suite d'une nouveauté essentielle constituée par la nécessité de pouvoir disposer, dès le début, de la notion d'aire ou de celle de l'excès sphérique. Les formules de Delambre et les analogies de Néper viennent rapidement montrer la richesse du sujet.
Viennent alors les résolutions proprement dites, en commençant par les triangles rectangles, puis les théories des cercles inscrit, exinscrits et circonscrit. Les médianes, les bissectrices, les hauteurs, les théorèmes de Ménélaüs et de Céva sont prétextes à d'élégants développements ayant d'ailleurs toujours quelque chose de plus intéressant sur la sphère que sur le plan. Cette dernière impression non seulement s'accentue mais domine dans un chapitre spécialement consacré à l'excès sphérique. Là se trouve la très jolie formule de L'Huillier (avec trois démonstrations), une expression de cos E par une sorte d'analogie des cosinus, les théorèmes de Gudermann et de Lexell, où interviennent des triangles à aire constante.
La puissance sphérique, l'axe radical, le quadrilatère sphérique, le volume du tétraèdre, la sphère circonscrite à celui-ci, quelques aperçus sur les polyèdres réguliers, des cas spéciaux de résolution triangulaire conduisent à une fin enrichie de nombreux exercices constituant tous de jolis compléments.
Tout en restant élémentaire, M. Papelier vient de faire beaucoup pour la sphérique.
Adolphe BUHL, L'Enseignement Mathématique, 29 (1930)

Prisonnier de guerre lors de la retraite de Moscou en 1812, Poncelet occupa ses loisirs forcés à retrouver les éléments de géométrie qui, bien des années auparavant lui avaient été enseignés, et à approfondir quelques idées neuves que ce travail lui avait suggérées. Ses très remarquables découvertes furent exposées plus tard dans son Traité des propriétés projectives des figures, publié en 1822, et qui fut pendant de longues années le seul ouvrage propre à initier les mathématiciens à cette géométrie moderne que Poncelet a la gloire d’avoir fondée.
L’objet principal de ce grand ouvrage est d’établir certaines relations entre deux figures qui sont la perspective l’une de l’autre, ce qui permet de ramener la recherche des propriétés d’une figure à celle des propriétés d’une figure plus simple. Par exemple, deux cercles donnent par projection conique deux courbes du second ordre, dont les propriétés découlent de celles des cercles.
En perspective, ces figures sont situées dans deux plans différents. Il est plus simple de supposer l’un des plans rabattus sur l’autre. Les deux figures sont alors dites homologiques l’une de l’autre ; le point de concours des droites qui joignent les points correspondants est le centre d’homologie et l’arête commune l’axe d’homologie. Le centre et l’axe d’homologie définissent la figure homologique d’une figure donnée.
Les principales propriétés des coniques que Poncelet découvrit au moyen de l’homologie sont celles-ci : les foyers d’une conique peuvent être considérés comme des cercles de rayon nul ayant un double contact avec la conique, définition qui a permis à Plücker de généraliser la notion de foyer ; lorsque plusieurs coniques ont mêmes sécantes communes, si l’on inscrit dans l’une de ces courbes un polygone dont tous les côtés moins un soient tangents aux autres courbes puis que l’on déforme le polygone en faisant glisser ses sommets sur la première conique et ses côtés sur les autres coniques, le côté libre et toutes les diagonales du polygone rouleront sur d’autres coniques ayant mêmes sécantes communes avec les proposées. Jacobi a fait une heureuse application de ce théorème aux fonctions elliptiques.
L’ouvrage de Poncelet renferme en outre l’exposé de la théorie des polaires réciproques, fondée sur une loi qui reçut de Gergonne le nom de principe de dualité.
W. W. Rouse BALL, Histoire des mathématiques, t. II, 1907

Le premier Chapitre de cette sixième édition renferme les premiers éléments de la théorie des fonctions circulaires ; le deuxième est relatif à la construction et à l'usage des Tables trigonométriques ; les deux Chapitres suivants contiennent la Trigonométrie proprement dite, c'est à dire l'ensemble des principes sur lesquels repose la résolution des triangles rectilignes ou sphériques. Ces quatre Chapitres constituent la partie élémentaire de notre Ouvrage. Dans le Chapitre cinquième, nous donnons un complément assez étendu de la théorie des fonctions circulaires, si utile dans les parties élevées des Mathématiques. Enfin le sixième Chapitre, qui termine l'Ouvrage, est surtout consacré au développement des solutions trigonométriques fondées sur l'emploi des séries ; ces solutions se rapportent à différents cas qui se présentent fréquemment dans l'Astronomie et dans le Géodésie, et pour lesquels les méthodes générales deviennent insuffisantes.
Joseph-Alfred SERRET, Avertissement